Meetkundige berekeningen

Meetkundige berekeningen > Lengtes berekenen

Overzicht

1234567Lengtes berekenen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Bijvoorbeeld van `∆ ABF` . Of van `∆ AFE` .

De stelling van Pythagoras in `∆ ABF` geeft: `AF^2 = 6^2 + 6^2 = 72` en dus is `AF = sqrt(72) ≈ 8,49` .

Alle zijvlaksdiagonalen zijn even lang, dus `AE = sqrt(72) ≈ 8,49` .

Opgave V2

Bijvoorbeeld van `∆ ACG` . Of van `∆ AGE` . Maar ook van `∆ AFG` en `∆ AGD` .

De stelling van Pythagoras in `∆ ACG` geeft: `AG^2 = 6^2+ (sqrt(72))^2 = 108` en dus is `AG = sqrt(108) ≈ 10,39` .

Opgave 1

In `∆ ABC` , de rechte hoek is `∠B` .

In `∆ ACG` , de rechte hoek is `∠C` .

Bereken eerst de lengte van `DE` de rechthoekige driehoek `ADE` . Hiervoor geldt de stelling van Pythagoras als volgt:
`AD^2 + AE^2 = DE^2`
`DE^2 = 3^2 + 2^2`
`DE = sqrt(13) ~~ 3,61`

Vervolgens kun je de lengte van het lichaamsdiagonaal `DF` in `∆ EFD` berekenen.
`DE^2 + EF^2 = DF^2`
`13 + 5^2 = DF^2`
`DF = sqrt(38) ~~ 6,16`

Opgave 2

`AF^2 = AB^2+BF^2`
`AF^2 = 20^2 + 5^2 = 425` geeft `AF = sqrt(425) ≈ 20,6` cm.

Zijn route is een rechte lijn van `A` naar `G` op de uitslag van de balk. Teken eventueel de uitslag.

Hiervoor geldt `AG^2 = AH^2 + HG^2` .
`AG^2 = 20^2 + 15^2 = 625` geeft `AG = sqrt(625) = 25` cm.

Zijn route is een rechte lijn van `A` naar `G` dwars door de balk, dus een lichaamsdiagonaal.
`AC^2 = 20^2 + 10^2 = 500` geeft `AC = sqrt(500)` cm.
En dan is `AG^2 = (sqrt(500))^2 + 5^2 = 525` dus `AG = sqrt(525) ≈ 22,9` cm.

Opgave 3

Zeker langer dan de langste afmeting van het pakje. Maar het moet er ook schuin in passen...
Je berekent dus de lengte van een lichaamsdiagonaal.
Voor de diagonaal `c` van het grondvlak geldt `c^2 = 5,5^2 + 4,0^2 = 46,25` .
Voor de lichaamsdiagonaal `d` geldt dus `d^2 = 46,25 + 9,5^2 = 136,5` zodat `d = sqrt(136,5) ≈ 11,7` cm.
Het rietje moet minstens `117` mm lang zijn.

Opgave 4

In `∆ T M S` met als rechte hoek `∠ S` .

Begin met het vierkante grondvlak van `4` bij `4` cm. En zet dan loodrecht op het midden van elke zijde van dit grondvlak de lengte van `T M` uit. Je kunt nu de vier opstaande gelijkbenige driehoeken afmaken.

Alle ribben zijn gelijk omdat punt de top `T` loodrecht boven het midden `S` van het grondvlak zit.

Gebruik de stelling van Pythagoras in `∆ A S T` : `AT^2 = AS^2 + ST^2` .
Bereken eerst de lengte van `AS` uit `∆ A B C` :
`AC^2 = AB^2 + BC^2`
`AC^2 = 4^2 + 4^2 = 32`
`AC = sqrt(32)`
`AS = 1/2 sqrt(32) ~~ 2,83` .

Dan `AT^2 = 2,83^2 + 6^2` en `AT = sqrt(44) ≈ 6,6` cm

Begin met het vierkante grondvlak van `4` bij `4` cm. En cirkel dan vanuit elk hoekpunt van dit grondvlak de lengte van een opstaande ribbe uit. Je kunt nu de vier opstaande gelijkbenige driehoeken afmaken.

Opgave 5

`6^2 = p^2 + 3^2`

`p = sqrt( 6^2 - 3^2 ) = sqrt( 27 )`

Gebruik net als in het voorbeeld een driehoek zoals `∆ T M S` .

`p^2 = h^2 + 3^2`
`h^2 = p^2 - 3^2 = 27 - 9 = 18`
`h = sqrt(18) ~~ 4,24`

Opgave 6

`T C = DT^2 + DC^2`
`T C = sqrt( 5^2 + 8^2 ) = sqrt( 89 )`

`TA = AD^2 + DT^2`
`T A = sqrt( 6^2 + 8^2 ) = sqrt( 100 ) = 10`

Bereken eerst `DB` uit `∆ A B D` :
`BD^2 = AD^2 + DT^2`
`BD = sqrt( 5^2 + 6^2 ) = sqrt( 61 )` .
Dan `BT` uit `∆ B D T` :
`BT = sqrt( ( sqrt( 61 ) )^2 + 8^2 ) = sqrt( 125 ) ~~ 11,18` .

Opgave 7

`h = sqrt( 1,2^2 - 0,3^2 ) = sqrt( 1,35 ) ≈ 1,16`

Opgave 8

Eerst reken je de lengte uit van een diagonaal van de bodem van het bakje: `sqrt(15^2 + 15^2) = sqrt(450)` cm.
De diagonaal in het grondvlak recht onder het rietje, het rietje zelf en het onderste stuk `a` van de opstaande ribbe waar het rietje tegen aan ligt, vormen een rechthoekige driehoek. Daarin is `(sqrt(450))^2 + a^2 = 23^2` . En dus is de gevraagde hoogte `a = sqrt(79) ≈ 8,9` cm. Ongeveer `9` cm dus, veel nauwkeuriger antwoorden hebben niet veel zin.

Opgave 9

Knap als je er zelf bent uitgekomen met een correcte berekening. Tekenen en meten kan natuurlijk altijd, maar het gaat om het vinden van een goede berekening.

`h^2 = 1,2^2 - p^2` volgt uit de stelling van Pythagoras in `∆ DBC` .
Verder is `AD = 4 - p` . En dus volgt `h^2 = 3,6^2 - (4 - p) ^2` uit de stelling van Pythagoras in `∆ ADC` .

Haakjes uitwerken geeft `1,44 - p^2 = 12,96 - 16 + 8p - p^2` , zodat `8p = 4,48` en `p = 0,56` .

`h^2 = 1,2^2 - 0,56^2 = 1,1264` geeft `h = sqrt(1,1264) ≈ 1,06` .

Opgave 10

De beide benen hebben een lengte van `(30-8)/2 = 11` cm.
De hoogte wordt dan `h = sqrt( 11^2 - 4^2 ) = sqrt( 105 )` cm.
En dus is de oppervlakte `1/2 * 8 * sqrt( 105 ) = 4 sqrt( 105 )` cm².

Opgave 11

Parallellogram `A B C D` heeft een hoogte van `DE = sqrt(10^2 - 2^2) = sqrt(96)` en dus is de oppervlakte `13 sqrt(96) ~~ 127,37` .

Vlieger `K L M N` bestaat uit twee gelijke driehoeken, beide met basis `LN` en hoogte `4` . Het snijpunt van `LN` en `K M` noem je `H` , dan is `L H = sqrt(10^2 - 4^2) = sqrt(84)` en `N H = sqrt(5^2 - 4^2) = 3` . De oppervlakte van de vlieger is dus `2 * 1/2 * (3 + sqrt(84)) * 4 = 12 + 4 sqrt(84)` .

Trapezium `P Q R S` kun je verdelen in een rechthoek van `8` bij `3,5` en twee halve rechthoeken. Van de halve rechthoek `R S T` zijn de rechthoekszijden `8` en `sqrt(10^2 - 8^2) = 6` . Van de halve rechthoek `P Q U` zijn de rechthoekszijden `8` en `sqrt(8,6^2 - 8^2) = sqrt(9,96)` . De oppervlakte van het trapezium is dus `8 * 3,5 + 1/2 * 8 * 6 + 1/2 * 8 * sqrt(9,96) = 52 + 4 sqrt(9,96)` .

Opgave 12

De diameter van de tunnel is ook de diagonaal van de rechthoek. Door de diagonaal te tekenen ontstaat er een rechthoekige driehoek met de diagonaal als hypotenusa. `8,70^2 = 6,75^2 + h^2`

`h^2 = 8,70^2 - 6,75^2`

`h = sqrt(8,70^2 - 6,75^2) ≈ 5,49` m.

De oppervlakte van het vooraanzicht is `π * 4,35^2 ≈ 59,45` m². De oppervlakte van de rechthoek is `6,75 * 5,49 ≈ 37,06` m². Dus is `22,39` van de `59,45` m² niet voor het verkeer bestemd. Dat is ongeveer `38` %.

Opgave 13

`∆ ABC` :
Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras `AD = sqrt(26^2 - 24^2) = 10` en `BC = sqrt(24^2 + 24^2) = sqrt(1152)` . De oppervlakte is dus `1/2*34 *24 = 408` en de omtrek is `60 + sqrt(1152)` .

`∆ EFG` :
Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras `GH = sqrt(60^2 - 40^2) = sqrt(2000)` en `GE = sqrt((sqrt(2000))^2 + 20^2) = sqrt(2400)` . De oppervlakte is dus `1/2*20 *sqrt(2000) = 10 sqrt(2000)` en de omtrek is `80 + sqrt(2400)` .

Pijlpuntvlieger `KLMN` :
Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras `KM = 12` en `MN = ML = sqrt(12^2 + 10^2) = sqrt(244)` . De oppervlakte is dus `(1/2*20*24) - (1/2*20*12) = 120` en de omtrek is `52 + 2 sqrt(244)` .

Cirkel min vierkant:
Eerst bereken je met behulp van de stelling van Pythagoras de diameter `d` van de cirkel. Je vindt `d = sqrt(8^2 + 8^2) = sqrt(128)` . De oppervlakte is dus `π*(1/2sqrt(128))^2 - 8*8 = 32π - 64` en de omtrek is `sqrt(128)*π + 32` .

Opgave 14

`1/2 * 6 * PS = 6` geeft `PS = 2` cm.

Gebruik de stelling van Pythagoras: `QS = sqrt(4^2 - 2^2) = sqrt(12)` cm.
Dit levert op `RS = 6 - sqrt(12)` en dus `PR = sqrt((6 - sqrt(12))^2 + 2^2) ≈ 3,23` cm.

Opgave 15

Het deel van het rietje binnen het glas is de hypotenusa van een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van `13` cm en `10` cm. De lengte van dit deel van het rietje is dus `sqrt(10^2 + 13^2) = sqrt(269) ≈ 16,4` cm.
Er steekt dus nog `7,6` cm van het rietje buiten het glas.

Opgave 16

Bereken eerst een diagonaal van de vloer van de lift en daarmee de lichaamsdiagonaal.
De diagonaal van de vloer bedraagt `sqrt(1,5^2 + 2^2) = 2,5` .
Vervolgens kun je de lichaamsdiagonaal `l` berekenen:
`l^2 = 2,5^2 + 2,5^2`
`l = sqrt(12,5) = 3,5`

Je vindt ongeveer `3,5` m.

Bereken de linker en rechter zijvlaksdiagonalen `2^2 + 2,5^2 = 10,25 = z^2` en `z = sqrt(20) ≈ 3,20` m.
Dat is langer dan `3,15` m, dus het kan.

Opgave 17

De vloer is een vierkant met zijden van `sqrt(50 )` m.
Dan is `AC = sqrt((sqrt(50))^2 + (sqrt(50))^2) = 10` .
En dus is de gevraagde hoogte `TS = sqrt(10^2 - 5^2) = sqrt(75) ≈ 8,67` m.

Opgave 18

Bereken alle drie de zijden van de driehoek en controleer of de stelling van Pythagoras hierin klopt.
Je weet dat `HG = 200` en de lengte van `HP = GP` .
Bereken eerst `PC` .
`PC^2 = 100^2 + 80^2`
`PC = sqrt(16400) ~~ 128,06`
Je kunt dan `GP` bereken uit `∆ PCG` .
`PC^2 + GC^2 = GP^2`
`(sqrt(16400))^2 + 60^2 = GP^2`
`GP = sqrt(20000) = 141,42`

Controle: `200 = sqrt((sqrt(20000))^2+(sqrt(20000))^2) = sqrt(40000)` .
Deze driehoek is rechthoekig.

Opgave 19

Neem `AB` als basis en `CD` als hoogte.

Kies voor `AD` de variabele `x` , dan is `DB = 6 - x` .

De stelling van Pythagoras in `Delta ADC` geeft: `DC^2 = 3^2 - x^2 = 9 - x^2` .

De stelling van Pythagoras in `Delta DBC` geeft: `DC^2 = 4^2 - (6 - x)^2 = text(-)20 + 12x - x^2` .

`9 - x^2 = text(-)20 + 12x - x^2` geeft `12x = 29` en `x = 29/12` .

De hoogte van deze driehoek is daarom `DC = sqrt(9 - (29/12)^2) = sqrt(455/144)` .

De oppervlakte van `Delta ABC` is: `1/2 * 6 * sqrt(455/144) = 1/4 sqrt(455) ~~ 5,33` cm².

Opgave 20Tekendriehoeken

Tekendriehoeken

Omdat er twee gelijke hoeken zijn.

`sqrt(1^2 + 1^2) = sqrt(2 )`

`x^2 + x^2 = 16^2` geeft `x = sqrt(128) ≈ 11,3` cm.
Je kunt ook de halve geodriehoek als gelijkbenige rechthoekige driehoek zien. Die is dan `8` bij `8` bij `8 sqrt(2)` en ook dat is ongeveer `11,3` cm.

Als je twee van deze driehoeken met de langste rechthoekszijde tegen elkaar legt, krijg je een gelijkzijdige driehoek. De kortste rechthoekszijde is dan de helft van een zijde van die gelijkzijdige driehoek. Als die kortste rechthoekszijde lengte `1` heeft, heeft de gelijkzijdige driehoek zijden met lengte `2` .

`sqrt(2^2 - 1^2) = sqrt(3)` .

De hypotenusa is dan `30` cm en de langste rechthoekszijde is `15 sqrt(3)` cm.

Opgave 21De bolling van de Aarde

De bolling van de Aarde

De diameter is ongeveer `40000/π ≈ 12732` , dus de straal is ongeveer `6366` km.

Maak een schets waarin je de Aarde als cirkel voorstelt met een straal van `6366` km. De tunnel van `300` km wordt een rechte lijn die twee punten `A` en `B` op het aardoppervlak verbindt. De straal van de Aarde teken je nu vanuit het middelpunt `M` naar `A` en naar `B` . Ook teken je die straal vanuit `M` door het midden `S` van `AB` . Je kunt dan `MS` berekenen: `MS ≈ sqrt(6366^2 - 150^2) ≈ 6364` km. Dus zou de tunnel in het midden maar liefst `2` km diep komen te liggen!

Opgave 22Uitgebreide stelling van Pythagoras

Uitgebreide stelling van Pythagoras

Bereken de lichaamsdiagonaal `AG` .
Bereken eerst de lengte van `AC` :
`AB^2 + BC^2 = AC^2` , oftewel `a^2 + b^2 = AC^2`
`AC^2 = 5^2 + 4^2`
`AC = sqrt(41) ~~ 6,40`
Vervolgens kun je de lichaamsdiagonaal berekenen:
`AC^2 + CG^2 = AG^2`
`41 + 3^2 = AG^2`
`AG = sqrt(50) ~~ 7,07`

De stelling van Pythagoras in `∆ ABC` geeft: `AC^2 = a^2 + b^2` .
De stelling van Pythagoras in `∆ ACG` geeft: `AG^2 = AC^2 + c^2 = a^2 + b^2 + c^2` .

`AG^2 = 5^2 + 4^2 + 3^2 = 50` geeft weer `AG = sqrt(50)` .

Opgave 23

`CD = 5` .

`BC ≈ 8,35` .

Opgave 24

`AG = sqrt(50) ~~ 7,07`

`PH = sqrt(13)` , `PC = sqrt(29)` en `PG = sqrt(38)` .

Je kunt nu nagaan dat in `Delta PGH` de stelling van Pythagoras geldt.

verder | terug