Kwadratische verbanden

Kwadratische verbanden > Kwadratische vergelijkingen

123456Kwadratische vergelijkingen

Theorie

Elke vergelijking die je kunt schrijven in de vorm $a x^{2} + b x + c = 0$ heet een kwadratische vergelijking of ook wel tweedegraads vergelijking (mits $a \neq 0$ ) omdat de hoogste macht van de onbekende $x$ die voorkomt $2$ is. (Een lineaire vergelijking noem je ook wel een eerstegraads vergelijking.)

De oplossing van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ met $a \neq 0$ is

$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \lor x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Deze oplossing noem je de abc-formule.

> bewijs

Hieronder zie je een bewijs van de abc-formule. Dat wil zeggen dat je aantoont dat de formule in alle gevallen klopt. Je gaat daartoe $a x^{2} + b x + c = 0$ in algemene zin oplossen met behulp van kwadraat afsplitsen.

Neem aan dat $a \neq 0$ (anders is het ook geen kwadratische vergelijking!). Je kunt dan aan beide kanten van het isgelijkteken delen door $a$ . Dat geeft:

$x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0$

Een kwadraat afsplitsen levert op:

${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} - {(\frac{b}{2 a})}^{2} + \frac{c}{a} = 0$ en ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$

Worteltrekken:

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$

En nu een beetje herleiden:

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} = \frac{- b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

En hiermee is de abc-formule gevonden.

Het is bij het oplossen van een kwadratische vergelijking handig om eerst de discriminant $D = b^{2} - 4 a c$ te berekenen.

Als $D > 0$ heb je twee waarden in de oplossing.
Als $D = 0$ heb je één waarde in de oplossing.
Als $D < 0$ heb je geen reële waarden in de oplossing.

Je kunt hiermee de oplossing van elke kwadratische vergelijking kortweg zo opschrijven:

De oplossing van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ is $x = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ .

Bekijk ook de (engelstalige) videoclip "quadratic formula" in het Practicum.

verder | terug