Exponentiële verbanden

Exponentiële verbanden > Exponentiële groei

1234Exponentiële groei

Voorbeeld 1

Na jaren van terugloop is de populatie grijze zeehonden in het Nederlandse deel van het Waddengebied gelukkig weer gestegen. Sinds 2010 is het aantal zeehonden in dit gebied jaarlijks met $19,1$ % toegenomen. Ga ervan uit dat er in 2010 $2000$ zeehonden waren geteld.
Neem aan dat de groei van het aantal grijze zeehonden in dit gebied zo is doorgegaan en stel een bijpassende formule op. Bereken het aantal zeehonden dat er in 2025 zou moeten zijn geweest.

> antwoord

Omdat er per maand een vast percentage grijze zeehonden bij is gekomen, is er sprake van exponentiële groei. De groeifactor per maand is $1,191$ . Neem $t = 0$ in 2010, dan is de beginhoeveelheid $2000$ .
Is het aantal grijze zeehonden $Z$ en de tijd in maanden $t$ dan is een juiste formule $Z = 2000 \cdot {1,191}^{t}$ .

Voor het aantal zeehonden in 2025 geldt $t = 15$ . Vul je dit in de formule in, dan vind je $Z \approx 27524$ .

Opgave 3

In Voorbeeld 1 zie je hoe de populatie grijze zeehonden in het Nederlandse deel van de Waddenzee is gegroeid.

Bereken het aantal zeehonden in 2015.

Hoeveel bedraagt de groeifactor per `5` jaar? En het groeipercentage?

Stel een formule op voor het aantal zeehonden $Z$ afhankelijk van de tijd $t$ in periodes van `5` jaren. Neem $t = 0$ in 2015.

Bereken ook met de formule die je in c hebt gevonden het aantal zeehonden in 2015. Verklaar het kleine verschil.

Opgave 4

In de Theorie zie je een applet waarin grafieken van lineaire groei en exponentiële groei met dezelfde beginhoeveelheid worden vergeleken.

Stel de functies $H_{1} = 4 \cdot {1,10}^{t}$ en $H_{2} = 0,6 t + 4$ in met behulp van de schuifbalkjes. Hoeveel snijpunten hebben de grafieken van deze functies?

Het éne snijpunt is uiteraard $(0, 4)$ . Bereken met behulp van inklemmen het tweede snijpunt in één decimaal nauwkeurig.

Als je de groeifactor van $H_{1}$ verandert, hebben de grafieken soms nog maar één snijpunt. Moet je de groeifactor daartoe groter of kleiner maken?

Stel de functies $H_{1} = 4 \cdot {0,80}^{t}$ en $H_{2} = - 0,5 t + 4$ in met behulp van de schuifbalkjes. Hoeveel snijpunten hebben de grafieken van deze functies?

Het éne snijpunt is uiteraard $(0, 4)$ . Bereken met behulp van inklemmen het tweede snijpunt in één decimaal nauwkeurig.

Opgave 5

De afdeling bevolking van de gemeente Amsteldijk verwacht dat er eind van dit jaar zo’n $40.000$ mensen in deze gemeente zullen wonen. Het gemeentebestuur hoopt dat het inwoneraantal nog verder zal uitbreiden omdat dit de mogelijkheid biedt om enkele voorzieningen te verbeteren. Wethouder Simonsz zegt: "We streven er naar om elk jaar $1500$ inwoners meer te hebben." De burgemeester mw. Jansma hoopt echter elk jaar $3$ % meer inwoners te kunnen inschrijven dan het jaar ervoor.

Maak grafieken voor de bevolkingsgrootte voor de komende acht jaar. Eén die past bij de uitspraak van dhr. Simonsz en één die past bij de uitspraak van mw. Jansma.

Geef een passende formule voor het aantal inwoners $N$ afhankelijk van de tijd $t$ in jaren die past bij de uitspraak van wethouder Simonsz. Ga er van uit dat op $t = 0$ het aantal inwoners $40.000$ is.

Geef een passende formule voor het aantal inwoners $N$ afhankelijk van de tijd $t$ in jaren die past bij de uitspraak van burgemeester Jansma Ga er van uit dat op $t = 0$ het aantal inwoners $40.000$ is.

Welk van beide formules levert op den duur de meeste inwoners op voor de gemeente Amsteldijk? Licht je antwoord toe.

Volgens welke formule is het aantal inwoners van Amsteldijk voor het eerst verdubbeld?

verder | terug