Afgeleide functies > BuigpuntenVoorbeeld 2
Bij de productie van grote aantallen van een artikel hangen de kosten af van de productieomvang `q` . Bij een toenemende productieomvang stijgen soms in het begin de kosten steeds langzamer, terwijl ze bij grotere waarden van `q` weer sneller gaan stijgen (bijvoorbeeld omdat er vanaf een zekere productieomvang duurdere apparatuur en/of duurdere arbeidskrachten nodig zijn).
De kostenfunctie `TK = 0,1q^3 - q^2 + 4q` beschrijft zo'n situatie.
De afgeleide van deze functie wordt in de economie de marginale kostenfunctie `MK` genoemd. Hoe kun je uit `MK` het beschreven verloop van `TK` afleiden?
`MK = 0,3q^2 - 2q + 4`
`MK` stelt de hellingsfunctie van `TK` voor. Als je daarvan de grafiek bekijkt, zie je dat `MK gt 0` en dat `MK` in het begin afneemt en later weer toeneemt.
Het minimum van `MK` bereken je door `MK' = TK'' = 0` op te lossen. Je vindt `q = 3 1/3` .
Tot `q = 3 1/3` is `MK gt 0` en `MK` dalend. Voor `TK` betekent dit een afnemende stijging.
Voorbij `q = 3 1/3` is `MK gt 0` en `MK` stijgend. Voor `TK` betekent dit een toenemende stijging.
Gebruik de gegevens uit Voorbeeld 2.
Laat zien dat de marginale kosten voor `q = 0` positief zijn.
Laat met een berekening zien voor welke waarde van
`q`
de marginale kosten minimaal zijn.
Welke economische betekenis heeft dit?
Waarom betekent `TK'= MK gt 0` en `MK' lt 0` dat `TK` een afnemende stijging vertoont?
Vaak is de opbrengst
`TO`
(euro) bij de productie van een artikel afhankelijk van de arbeidstijd
`a`
in uren per dag.
Een verband kan worden beschreven door de functie
`TO(a) = text(-)1/3 a^3 + 8a^2`
.
Bekijk de grafiek van `TO` . De opbrengst stijgt in het begin progressief (steeds sterker). Schat tot hoeveel arbeidstijd dat ongeveer zo is.
Het antwoord op a kun je nauwkeurig berekenen met behulp van differentiëren. Laat zien hoe dat gaat.
Hoeveel bedraagt de grootste opbrengststijging per extra arbeidsuur?