Differentieerregels > De kettingregelUitleg
Je hebt van de functie
`s(x) = (x^2 + 10)^2`
de afgeleide nodig.
Differentiëren door lukt nu alleen nog door eerst de haakjes weg te werken, dit geeft:
`s(x) = x^4 + 20x^2 + 100`
en dus
`s'(x) = 4x^3 + 40x`
Dit wegwerken van de haakjes is bijna ondoenlijk als het hogere machten betreft.
Bekijk daarom de functie als een ketting van meerdere schakels:
-
`s(x) = f(g(x)) = (g(x))^2`
-
`g(x) = x^2 + 10`
De afgeleide
`s'(x)`
bepaal je nu door schakel voor schakel te differentiëren:
`s'(x) = 2(g(x))^1*g'(x) = 2(x^2 + 10) * 2x = 4x^3 + 40x`
Je gebruikt: `f'(g(x)) = 2(g(x))^1` en `g'(x) = 2x` .
In het algemeen geldt: als
`s(x) = f(g(x))`
, dan is
`s'(x) = f'(g(x)) * g'(x)`
.
Deze regel wordt de kettingregel genoemd.
Bekijk de functie in Uitleg 1.
Van deze functie wordt op twee manieren de afgeleide bepaald.
Bereken eerst zelf de afgeleide door eerst van `s` de haakjes weg te werken.
Bekijk vervolgens hoe
`s(x)`
in afzonderlijke schakels kan worden ontleed.
Bepaal nu de afgeleide door die afzonderlijke schakels te differentiëren.
Bekijk ook de functie `t(x) = g(f(x)) = (x^2)^2 + 10` .
Uit welke twee schakels bestaat deze functie?
Bereken de afgeleide van `t(x)` op twee manieren: door eerst de haakjes weg te werken en daarna door de schakels te gebruiken. Laat zien dat beide afgeleiden hetzelfde zijn.
Gegeven is de functie: `f(x) = (4x^2 + 2x)^2` .
Uit welke twee schakels bestaat `f` ?
Bepaal `f'(x)` zonder eerst de haakjes weg te werken, dus met de kettingregel.
Bepaal `f'(x)` door eerst de haakjes weg te werken van `f(x)` .
Laat zien dat je bij b en bij c dezelfde afgeleide vindt.