Logaritmische functies > EigenschappenTheorie
Definitie logaritme: `g^x=y` is gelijkwaardig met `x=\ ^(g) log(y)` , als `0 < g < 1` of `g gt 1` en als `y gt 0` .
Definitieformules: Uit de definitie van logaritme volgt: `\ ^(g) log(g^x)=x` en `g^ (\ ^(g) log(y)) =y` .
Eigenschappen van logaritmen: Als `0 < g < 1` of `g gt 1` en als `a gt 0` en `b gt 0` geldt:
-
`\ ^(g) log(a)+\ ^(g) log(b)=\ ^(g) log(a*b)`
-
`\ ^(g) log(a)-\ ^(g) log(b)=\ ^(g) log(a/b)`
-
`p*\ ^(g) log(a)=\ ^(g) log(a^p)`
De eigenschappen van logaritmen bewijs je vanuit de definitieformules (die volgen meteen uit de definitie van logaritme). Steeds geldt `0 < g < 1` of `g>1` en ook `a gt 0` en `b gt 0` .
Je gaat uit van de bekende eigenschappen van machten.
Bijvoorbeeld:
`g^r * g^s = g^(r+s)`
. Neem je hierin
`r = \ ^(g) log(a)`
en
`s = \ ^(g) log(b)`
, dan vind je:
`g^(\ ^(g) log(a) + \ ^(g) log(b)) = g^(\ ^(g) log(a)) * g^ (\ ^(g) log(b)) = a*b`
Hierbij gebruik je de definitieformules. Neem ten slotte links en rechts van de vergelijking de
`g`
-logaritme en je vindt:
`\ ^(g) log(a) + \ ^(g) log(b) = \ ^(g) log(a*b)`
Op vergelijkbare wijze bewijs je: `p * \ ^(g) log(a) = \ ^(g) log(a^p)` . En de derde eigenschap volgt door de andere twee te combineren (met `p=text(-)1` ).
Verandering van grondtal: Om met steeds hetzelfde grondtal te kunnen werken (de log-toets van je rekenmachine gebruikt altijd grondtal
`10`
), moet je van grondtal kunnen veranderen. Uit de eigenschappen van logaritmen kun je afleiden:
`\ ^(g) log(a) = (\ ^(p)log(a))/(\ ^(p)log(g))`
.
Dit geldt voor elk bruikbaar grondtal
`p`
, dus ook voor grondtal
`10`
. Zo kun je logaritmen met je rekenmachine berekenen en/of als functie invoeren; het grondtal
`10`
laat je vaak weg:
`\ ^(g) log(a) = (log(a))/(log(g))`
.
Merk op dat nieuwere rekenmachines soms de mogelijkheid hebben om het grondtal van de logaritme zelf te kiezen. Vaak moet je dan de Amerikaanse notatie
`log_(g) (x)`
gebruiken. Je ziet dat daarin het grondtal een andere plaats krijgt.