Afgeleide functies > BuigpuntenAntwoorden van de opgaven
De snelheid is de verandering van de afgelegde afstand dus de helling van de grafiek. De grafiek wordt eerst minder steil (snelheid neemt af) en dan weer steiler (snelheid neemt toe).
`v(t) = s'(t) = 3t^2 - 12t + 36`
Door de functie die de snelheid aangeeft nog eens te differentiëren.
`v'(t) = 6t - 12 = 0` geeft `t = 2` .
`f(0) = 100` , dit is de `y` -coördinaat van het snijpunt van de grafiek met de `y` -as.
`f'(0) = 150` , dit is de veranderingssnelheid van de grafiek voor `x=0` .
`f''(0) = text(-)40` , dit is de snelheid waarmee de veranderingssnelheid van de grafiek voor `x=0` verandert. Die veranderingssnelheid neem dus af als `x = 0` .
De hellingsgrafiek heeft een minimum. De grafiek gaat daar van afnemend stijgend naar toenemend stijgend. De helling van de grafiek is daar het minst positief.
`f''(x) = 6x - 40 = 0`
geeft
`x = 40/6 = 20/3`
en
`f(20/3) = 13700/27`
.
Buigpunt
`(20/3, 13700/27)`
.
`f'(20/3) = 16 2/3`
De richtingscoëfficiënt is daar niet
`0`
.
Voer in: `y_1 = text(-)1/3x^3+3x^2-12x` , `y_2 = text(-)x^2+6x-12` en `y_3 = text(-)2x+6` .
De hellingsgrafiek heeft een maximale waarde. De grafiek van `f` gaat daar van afnemend dalend naar toenemend dalend. De helling van de grafiek van `f` is daar het minst negatief.
Bereken de tweede afgeleide:
`f'(x) = text(-)x^2 + 6x - 12`
`f''(x) = text(-)2x + 6`
Voor het buigpunt geldt: `f''(x) = text(-)2x + 6 = 0` geeft `x = 3` .
Dus het buigpunt is `(3, text(-)18)` .
`f'(3) = text(-)3`
Bij het linker buigpunt gaat de grafiek van `f` over van toenemend dalend in afnemend dalend. De helling bij dat buigpunt is daar minimaal.
Bij het middelste buigpunt gaat de grafiek van `f` over van afnemend dalend in toenemend dalend. De helling bij dat buigpunt is daar maximaal en gelijk aan `0` .
Bij het rechter buigpunt gaat de grafiek van `f` over van toenemend dalend in afnemend dalend. De helling bij dat buigpunt is daar weer minimaal.
`f(x) = x^5 - 100x^3`
`f'(x) = 5x^4 - 300x^2 = 0` geeft `x = 0 ∨ x = text(-)2 sqrt(15) ∨ x = 2 sqrt(15)` .
Bij `x = 0` heeft `f` wel een horizontale raaklijn, maar geen extreme waarde.
max. `f(text(-)2sqrt(15)) = 4800 sqrt(15)` en min. `f(2sqrt(15)) = text(-)4800 sqrt(15)` .
`f''(x) = 20x^3 - 600x = 0` geeft `x = 0 ∨ x = text(-)sqrt(30) ∨ x = sqrt(30)` .
Bij
`x = 0`
heeft
`f`
inderdaad een buigpunt (met een horizontale raaklijn).
De buigpunten zijn
`(text(-)sqrt(30), 2100 sqrt(30))`
,
`(0, 0)`
en
`(sqrt(30), text(-)2100 sqrt(30))`
.
Ja, namelijk bij `x = 1` .
Bijvoorbeeld zoiets:
De afgelegde afstand, snelheid en versnelling worden achtereenvolgens beschreven met de functies
`s(t)`
,
`v(t) = s'(t) = 2,4t`
en
`a(t) = s''(t) = 2,4`
. Dit geeft:
`s(8) = 1,2*8^2 = 76,8`
m
`v(8) = s'(8) = 2,4*8 = 19,2`
m/s
`a(8) = s''(8) = 2,4`
m/s2.
`f"(x) = 6x - 6 = 0` geeft `x = 1` ; het buigpunt is `(1 , 4 )` .
`f'(1 ) = text(-)3`
`y = text(-)3x + 7`
`f'(x) = 1,5x^2 + 12x`
`f''(x) = 3x + 12`
Voor het buigpunt geldt: `f''(x) = 3x+12 = 0` en dus `x = text(-)4` .
Het buigpunt is `(text(-)4, text(-)26)` .
`g'(x) = 8x - 2x^3`
`g''(x) = 8 - 6x^2`
Voor de buigpunten geldt: `g''(x) = 8-6x^2 = 0` en dus `x = +-sqrt(4/3)` .
De buigpunten zijn `(text(-)sqrt(4/3), 4 4/9)` en `(sqrt(4/3), 4 4/9)` .
`h'(x) = x^4 - 4x^3`
`h''(x) = 4x^3 - 12x^2`
Voor het buigpunt geldt: `h''(x) = 4x^3 - 12x^2 = 4x^2(x - 3) = 0` en dus `x = 0 vv x = 3` .
Het enige buigpunt (zie grafiek of tekenschema) is `(3, text(-)32 2/5)` .
`f'(x) = x^3 - 72x`
`f''(x) = 3x^2 - 72`
Voor de buigpunten geldt: `f''(x) = 3x^2 - 72 = 0` en dus `x = +-sqrt(24)` .
De buigpunten zijn `(text(-)sqrt(24), text(-)720)` en `(sqrt(24), text(-)720)` .
De helling in het linker buigpunt is
`f'(text(-)sqrt(24)) = 96sqrt(6)`
.
De linker buigraaklijn heeft de vorm
`y = 96sqrt(6)x + b`
.
Je vindt
`b = 432`
door het buigpunt in te vullen.
Dat is tevens de `y` -coördinaat van het snijpunt van deze buigraaklijn met de `y` -as.
De helling in het rechter buigpunt is:
`f'(sqrt(24)) = text(-)96sqrt(6)`
.
De rechter buigraaklijn heeft de vorm
`y = text(-)96sqrt(6)x + b`
.
Je vindt
`b = 432`
door het buigpunt in te vullen.
Het gevraagde snijpunt is `(0, 432)` .
`f'(x) = 4 1/2 x^2 - 8x`
`f''(x) = 9x - 8`
`f'(1) = text(-)3 1/2 lt 0`
De grafiek van
`f`
is bij punt
`A`
aan het dalen.
`f''(1) = 1 gt 0`
De grafiek van
`f`
is bij
`A`
afnemend aan het dalen.
Een functie heeft extremen waarden als de grafiek van de afgeleide de `x` -as snijdt. Dus bij `x = text(-)2` en `x = 4` .
Een functie heeft een buigpunt als de grafiek van de afgeleide een extreme waarde heeft Hier dus bij `x = 1` . De coördinaten van het buigpunt zijn daarom `(1, 5)` .
De richtingscoëfficiënt van het buigpunt kun je aflezen uit de grafiek van `f'` : `f'(1) = text(-)7` .
De vergelijking van de buigraaklijn is daarom van de vorm `y = text(-)7x+b` . Met de coördinaten van het buigpunt vind je dan `b = 12` en dus `y = text(-)7x + 12` .
De grafiek op de GR laat zien dat ongeveer bij `a = 8` het buigpunt zit.
`(text(d)TO)/(text(d)a) = text(-)a^2 + 16a`
en
`(text(d)^2 TO)/(text(d)a^2) = text(-)2 a+16`
.
En
`TO''(a) = text(-)2a + 16 = 0`
als
`a = 8`
.
Tussen
`a = 7`
en
`a = 8`
zit de grootste omzetstijging.
Die bedraagt
`TO(8) - TO(7) ≈ 341,33 - 277,67 = 63,66`
.
`f_p'(x) = 6px-3x^2`
De richtingscoëfficiënt van de buigraaklijn is
`f_p'(p) = 3p^2`
.
Een vergelijking van de buigraaklijn heeft de vorm
`y = 3p^2x + b`
.
De buigraaklijn gaat door het buigpunt
`3p^2*p + b = 2p^3`
. Hieruit volgt
`b = text(-)p^3`
.
De vergelijking van de buigraaklijn is:
`y = 3p^2x-p^3`
.
De buigraaklijn snijdt de
`x`
-as in
`C`
en dit geeft
`3p^2 x_C - p^3 = 0`
. Hieruit volgt
`x_C = 1/3 p`
en
`OC = 1/3 p`
.
`CA = 3p - 1/3 p = 2 2/3 p`
`(CA)/(OC) = (2 2/3 p)/(1/3 p) = 8`
.
De lengte van `CA` is acht keer zo groot is als de lengte van `OC` .
(bron: examen vwo wiskunde B in 2014, tweede tijdvak)
`y'(x) = text(-)4,8*10^(text(-)3)x + 4,8*10^(text(-)5)x^2`
`y'(0) = 0`
In het punt
`(0, 8)`
heeft het vliegtuig een horizontale bewegingsrichting.
`y'(100) = text(-)0,48 + 0,48 = 0`
In
`(100, 0)`
is dit ook het geval.
`x = 500t` invullen in `y(x)` geeft:
|
`y(t)` |
`=` |
`8 - 2,4*10^(text(-)3)*(500t)^2 + 1,6*10^(text(-)5)*(500t)^3` |
|
|
`` |
`=` |
`8 - 2,4*10^(text(-)3)*500^2*t^2 + 1,6*10^(text(-)5)*500^3*t^3` |
|
|
`` |
`=` |
`8 - 600t^2 + 2000t^3` |
`y'(t) = text(-)1200t + 6000t^2`
`y''(t) = text(-)1200 + 12000t`
Op het interval
`[0; 0,2]`
neemt
`y''(t)`
toe van
`text(-)1200`
tot
`1200`
.
Aan de eis is voldaan.
(bron: examen vwo wiskunde B in 2008, eerste tijdvak)
`M(q) = T'(q) = 3aq^2 + 2bq + c`
`M'(q) = T''(q) = 6aq + 2b`
Voor `M'(q) = T''(q) = 0` geldt:
|
`6aq+2b` |
`=` |
`0` |
|
|
`2b` |
`=` |
`text(-)6aq` |
|
|
`b` |
`=` |
`text(-)3aq` |
`q`
is een (productie)hoeveelheid en er geldt
`q gt 0`
. Ook is gegeven dat
`a gt 0`
.
Als
`a gt 0`
en
`q gt 0`
, moet gelden dat
`b lt 0`
, vanwege de factor
`text(-)3`
voor de positieve variabelen
`q`
en
`a`
.
(naar: examen vwo wiskunde B in 2011, tweede tijdvak)
`f'(1) lt 0` en `f''(1) lt 0`
Buigpunt `(2, text(-)4)` .
De grafiek van `f` heeft een minimum bij `x = 0` en een maximum voor `x = 8` . Het buigpunt is bij `x = 4` .
`y = 8x - 22`
`MK ≈ 1 ,50`
`MK = 1 ,5`
`2000` L/dag