Goniometrische functies > Goniometrische formulesUitleg
Om eigenschappen van sinus, cosinus en tangens af te leiden moet je kijken naar hun definities in de eenheidscirkel:
`sin(α) = y_P`
`cos(α) = x_P`
`tan(α) = (y_P)/(x_P)`
In deze figuur zie je de hoeken `α` en `β=π -α` .
Omdat `∆OQP` en `∆OQ'P'` congruent zijn vanwege de symmetrie van de figuur geldt:
-
`sin(π - α) = sin(α)`
-
`cos(π - α) = text(-)cos(α)`
-
`tan(π - α) = text(-)tan(α)`
Kijk je alleen naar
`∆OQP`
dan zie je op grond van de stelling van Pythagoras:
`sin^2(α) + cos^2(α) = 1`
.
Op deze wijze kun je allerlei symmetrieformules voor sin, cos en tan afleiden.
Bijvoorbeeld:
`sin(text(-)α) = text(-)sin(α)`
,
`cos(text(-)α) = cos(α)`
en
`tan(text(-)α) = text(-)tan(α)`
.
Of:
`sin(1/2 π - α) = cos(α)`
en
`cos(1/2 π - α) = sin(α)`
.
Of:
`cos(α) = sin(α + 1/2 π)`
en
`sin(α) = cos(α - 1/2 π)`
.
Bekijk de symmetrieformules die in Uitleg 1 worden afgeleid.
Laat zelf zien, dat: `sin(text(-)alpha) = text(-)sin(alpha)` en `cos(text(-)alpha) = cos(alpha)` en `tan(text(-)alpha) = text(-)tan(alpha)` .
Laat zien, dat: `sin(1/2 pi – alpha) = cos(alpha)` en `cos(1/2 pi – alpha) = sin(alpha)` .
Laat ook zien dat: `cos(alpha) = sin(alpha + 1/2 pi)` en `sin(alpha) = cos(alpha – 1/2 pi)` .
Breng de grafiek van `y = sin^2(x) + cos^2(x)` op je grafische rekenmachine in beeld.
Welke formule heb je nu zichtbaar gemaakt? En hoe wordt die formule in Uitleg 1 afgeleid?
Maakt het daarbij verschil of je in graden of radialen werkt?