Parameterkrommen > Snelheid en versnellingVoorbeeld 3
Neem nogmaals de baan van punt `P` beschreven door de parametervoorstelling `P(x(t),y(t)) = (4cos(t) + 2cos(2t), 4sin(t) + 2sin(2t))` . Bereken algebraïsch de maximale baansnelheid van punt `P` .
De baansnelheid wordt bepaald door de snelheidsvector
`vec(v) = ((x'(t)),(y'(t)))`
.
Hier geldt:
`x'(t) = text(-)4sin(t)-4sin(4t)`
en
`y'(t) = 4cos(t)+4cos(2t)`
.
De baansnelheid
`v`
(ook wel vectoriële snelheid) op tijdstip
`t`
is de lengte van de snelheidsvector:
`v = |vec(v)|`
.
Hiervoor geldt:
| `v` | `=` | `sqrt((x'(t))^2 + (y'(t))^2)` |
`x'(t)`
en
`y'(t)`
invullen
|
| `=` | `sqrt((text(-)4sin(t) - 4sin(2t))^2 + (4cos(t) + 4cos(2t))^2)` |
haakjes wegwerken
|
|
| `=` | `sqrt(16 + 16 + 32sin(t)sin(2t) + 32cos(t)cos(2t))` |
formules voor `sin(2t)` en `cos(2t)` gebruiken |
|
| `=` | `sqrt(32 + 32 cos(t))` |
Omdat
`text(-)1 le cos(t) le 1`
weet je dat de maxima van
`v`
liggen op
`cos(t) = 1`
, ofwel
`t = k*2pi`
.
Hiermee vind je de maximale snelheid en de coördinaten waarop de snelheid maximaal is:
`v(k*pi) = 4sqrt(4) = 8`
.
Bestudeer Voorbeeld 3.
Welke coördinaten heeft `P` wanneer de snelheid maximaal is?
Omdat de baan van `P` een keerpunt heeft, weet je dat de minimale snelheid `0` is.
Toon aan dat dit ook volgt uit de formule voor `v` uit het voorbeeld.
Welke coördinaten heeft `P` wanneer de snelheid minimaal is?
Neem de baan van punt `P` beschreven door de parametervoorstelling `(x(t), y(t)) = (2t^2 - 1, t^3 - 2t + 2)` .
Bereken de minimale baansnelheid van punt `P` .
Welke coördinaten heeft `P` als de snelheid minimaal is?
Beredeneer of er een maximale snelheid is.