Wiskunde en rekenmachines > Taylor benaderingenVoorbeeld 1
Benader `f(x)=text(e)^x` met behulp van de stelling van Taylor door een veeltermfunctie.
Eerst maar even afgeleiden maken, dat is hier heel eenvoudig:
`f'(x) = text(e)^x` , `f''(x) = text(e)^x` , `f^((2)) (x) = text(e)^x` , `f^((3)) (x) = text(e)^x` , ...
De (vereenvoudigde) stelling van Taylor toepassen:
`text(e)^x ~~ text(e)^0 + text(e)^0 * x + (text(e)^0)/(2!)*x^2 + (text(e)^0)/(3!)*x^3 + (text(e)^0)/(4!)*x^4 + ...`
En dit is:
`text(e)^x ~~ 1 + x + 1/2 x^2 + 1/6 x^3 + 1/24 x^4 + ...`
Even controleren met je grafische rekenmachine...
Bekijk Voorbeeld 1. De functie `f(x) = text(e)^x` wordt benaderd met behulp van de stelling van Taylor rond `x=0` .
Laat met je grafische rekenmachine zien dat `y_1=text(e)^x` en `y_2 = 1 + x + 1/2 x^2 + 1/6 x^3 + 1/24 x^4` voor `text(-)1,5 le x le 1,5` vrijwel dezelfde uitkomsten hebben.
Je hebt `f(x) = text(e)^x` benaderd met een vijfterm.
Benader deze functie met een zeventerm en laat zien dat de benadering beter wordt.
Bekijk de benadering van
`text(e)`
op je grafische rekenmachine.
Hoeveel termen moet je Taylorbenadering van
`f(x)=text(e)^x`
hebben om deze zelfde waarde te krijgen voor
`text(e)^1`
?
Bekijk de functie `f(x) = ln(x)` .
Waarom kun je bij deze functie geen benaderingsformule opstellen met behulp van de stelling van Taylor?
Waarom kan dit wel voor de functie `g(x) = ln(1+x)` ?
Stel een Taylorbenadering van vijf termen voor `g` op.
Hoe kun je hiermee nu toch een benadering voor de functie `f` maken?
Ga met behulp van je grafische rekenmachine na, hoe goed de benadering is die je bij d hebt gevonden.
Hoe zou je grafische rekenmachine nu de functiewaarden van bijvoorbeeld de functie `f(x) = 3text(e)^(2x-4) + 10` met behulp van de Taylorbenadering kunnen berekenen?