Je wilt de integraal `int_1^3 (2x + 1)/(x^2 + x + 1) text(d)x` berekenen.

Dat kan bijvoorbeeld zo:

`g(x) = x^2 + 2x + 1` en `g'(x) = 2x + 1`

`int_1^3 (2x + 1)/(x^2 + x + 1) text(d)x = int_1^3 1/(g(x))*g'(x) text(d)x = [ln|g(x)|]_1^3 = [ln|x^2 + x + 1|]_1^3 = ln(4)`

Als het goed is, weet je nog dat je hier de substitutieregel gebruikt die is afgeleid uit de kettingregel voor differentiëren.

Van een substitutie (vervanging) is echter eigenlijk geen sprake. Maar je kunt dit ook iets anders aanpakken.

Omdat `(text(d)g(x))/(text(d)x) = g'(x)` kun je schrijven: `g'(x) text(d)x = text(d) (g(x))` .
Dit betekent: neem je `g(x) = t` , dan is `g'(x) text(d)x = text(d)t` .

Je vervangt `g(x)` door de variabele `t` , je substitueert `t` voor `g(x)` . En je krijgt:

`int_1^3 (2x + 1)/(x^2 + x + 1) text(d)x = int_1^3 1/(x^2 + x + 1) * (2x + 1) text(d)x = int_3^13 1/t text(d)t`

Omdat je nu een nieuwe variabele hebt, zijn de grenzen aangepast: bij `x = 1` hoort `t = 1^2 + 1 + 1 = 3` en bij `x = 3` hoort `t = 3^2 + 3 + 1 = 13` .

De integraal wordt `[ln|t|]_3^13 = ln(13/3)` .

Uitdrukkingen als `text(d) g(x)` en `text(d)t` heten "differentialen" . In dit geval is (vanwege de al bekende substitutieregel) het vervangen van een uitdrukking door één andere variabele (substitutie) niet echt nodig, maar soms kun je niet zonder.