Je kent de productregel voor differentiëren wel. Die gebruik je om bij een product van twee functies de afgeleide te kunnen berekenen. Bij integreren komen ook situaties voor waarin je met het product van twee functies te maken hebt.

Stel bijvoorbeeld dat je `int_0^1 x*cos(x) text(d)x` wilt berekenen.

De functie die je wilt integreren bestaat nu uit een product van twee functies. Vanuit de productregel voor differentiëren kun je nu een manier afleiden om dergelijke integralen te berekenen:

`(text(d)(f(x)*g(x)))/(text(d)x) = f(x)*(text(d)(g(x)))/(text(d)x) + g(x)*(text(d)(f(x)))/(text(d)x)` (productregel voor differentiëren)

geeft `text(d)(f(x)*g(x)) = f(x)*text(d)(g(x)) + g(x)*text(d)(f(x))` (beide zijden "vermenigvuldigen" met `text(d)x` )

en `f(x)*text(d)(g(x)) = text(d)(f(x)*g(x)) - g(x)*text(d)(f(x))` .

Integreren levert dan op:

`int_a^b f(x) text(d)(g(x)) = int_a^b text(d)(f(x)*g(x)) - int_a^b g(x) text(d)(f(x))`

en dus:

`int_a^b f(x) text(d)(g(x)) = [f(x)*g(x)]_a^b - int_a^b g(x) text(d)(f(x))`

Deze regel kun je toepassen op `int_0^1 x*cos(x) text(d)x` .

Eerst gebruik je `cos(x) text(d)x = text(d)(sin(x))` (omdat `(text(d)(sin(x)))/(text(d)x) = cos(x)` ). Je primitiveert dus alleen `cos(x)` en je laat de andere functie gewoon staan voor de differentiaal. Daarom heet dit "partieel integreren" .

Dit geeft `int_0^1 x * cos(x) text(d)x = int_0^1 x text(d)(sin(x))` .

Nu pas je de zojuist bedachte regel toe.

`int_0^1 x * cos(x) text(d)x = int_0^1 x text(d)(sin(x)) = [x*sin(x)]_0^1 - int_0^1 sin(x) text(d)x`

Vervolgens kun je de integraal verder oplossen.