Als `t` met `1` toeneemt, dan neemt `N` met een factor `1,2` toe en de beginhoeveelheid is `2000` .

`N(t) = 2000 * 1,2^t`

Voer in: `u(n)=1,2u(n-1)` en `u(ntext(Min))={2000}` .

Venster: `[0, 10000]xx[0, 10000]` .

De webgrafiek convergeert niet naar een snijpunt, dus de rij divergeert.

Voer in: `u(n)=u(n-1)+0,2(1-(u(n-1))/4000)*u(n-1)` en `u(ntext(Min))={2000}` .

Venster: `[0, 5000]xx[0, 5000]` .

De webgrafiek convergeert naar het snijpunt `(4000, 4000)` .

Als `N(t-1) rarr M` dan `(N(t-1))/M rarr 1` .

Werk de haakjes weg, dan blijkt dat de recursieformule kwadratisch is.
`N(t) = 1,02*N(t-1) - ((N(t-1))^2)/M`

In de evenwichtssituatie is `N(t) = N(t-1) = N` en dan wordt de differentievergelijking:

Met behulp van een tijd- of webgrafiek kun je zien dat de rij convergeert.

De grenswaarde volgt uit `N = 0,84N + 200` en dit geeft `N = 200/(0,16) = 1250` .

Met behulp van een tijd- of webgrafiek kun je zien dat de rij divergeert.

Met behulp van een tijd- of webgrafiek kun je zien dat de rij convergeert.

De grenswaarde volgt uit `N = 0,5N(6 - N)` en dit geeft `N = 4` .

`N = aN + b` geeft `(1 - a)N = b` en dit geeft: `N = b/(1 - a)` .

Uitschrijven geeft: `N(t) = d*a^t +b*(a^(t-1) + ... + a + 1)` .

Gebruik de somformule voor de meetkundige rij:

Omdat als `0 lt a lt 1` altijd `lim_(t rarr oo) u(t) = b/(1-a)` .

Voer in: `u(n)=u(n-1)+0,05u(n-1)` en `u(ntext(Min))={50}` .

Venster: `[0, 50]xx[0, 500]` .

`N(t) = 50 * 1,05^t`

Het aantal bacteriën blijft groeien.

Bijvoorbeeld `N(t) = N(t-1) - 0,4*N(t-1) + 500` met `N(0) = 1600` , waarin `N(t)` het aantal thuja's na `t` jaar voorstelt. Dit is inderdaad een lineaire differentievergelijking van de eerste orde.

De groeivoet is `text(-)0,40` en de groeifactor is `0,60` .

`N(t) = (1600 - 500/(1 - 0,6)) * 0,6^t + 500/(1 - 0,6) = 350 * 0,6^t + 1250`

De grenswaarde is `1250` .

Aan de factor `1,5*(1 - (K(t-1))/600)` .

Als `K(t-1) rarr 600` , dan `1 - (K(t-1))/600 rarr 0` .

De twee dekpunten zijn `(0, 0)` en `(600, 600)` . Het eerste dekpunt zou worden bereikt als de startpopulatie `0` zou zijn en het tweede dekpunt hoort bij de geschetste situatie.

Nee, tenzij je met `0` of met `1000` of meer snuitkevers begint.

Voer in: `u(n)=0,005u(n-1)*(400-u(n-1))` en `u(ntext(Min))={50}`

Venster voor de webgrafiek: `[0, 300]xx[0, 300]`

Venster voor de tijdgrafiek: `[0, 25]xx[0, 300]`

Het aantal bacteriën convergeert naar `200` .

De groeivoet is `1` .

Uit de factor `(1 - (N(t-1))/200)` . Als `N(t-1) rarr 200` , dan `1 - (N(t-1))/200 rarr 0` .

`y = 0,005x*(400 - x) = 2x - 0,005x^2`

De twee dekpunten zijn `(0, 0)` en `(200, 200)` . Het eerste dekpunt zou worden bereikt als de startpopulatie 0 zou zijn en het tweede dekpunt hoort bij de geschetste situatie.

Er is dan van groei geen sprake, dit aantal blijft dan steeds hetzelfde.

`x=0,5x+2` geeft `x=4` .

Het dekpunt is `4` .

Omdat `0<0,5<1` is er sprake van convergentie. Dit kun je ook zien in de tijd- of webgrafiek.

`x=1,08x` geeft `x=0` .

Het dekpunt is `0` .

Omdat `1,08>1` is er sprake van divergentie. Dit kun je ook zien in de tijd- of webgrafiek.

`x=5-0,6x` geeft `x=3,125` .

Het dekpunt is `3,125` .

Omdat `text(-)1<text(-)0,6<0` is er sprake van alternerende convergentie. Dit kun je ook zien in de tijd- of webgrafiek.

Bereken het dekpunt door de vergelijking `N = 0,8N + 100` op te lossen. Dit geeft `N = 100/(0,2) = 500` en dit is onafhankelijk van `N(0)` .

Voer in:

`u(n)=0,8u(n -1)+100` en `u(n text(Min))={100}` .

`v(n)=0,8v(n -1)+100` en `u(n text(Min))={500}` .

`w(n)=0,8w(n -1)+100` en `u(n text(Min))={900}` .

Venster: `[0, 50]xx[0, 1000]` .

Naar `N = 500` .

`N(0) = 100` : `N(t) = text(-)400*0,8^t + 500` .
`N(0) = 500` : `N(t) = 500` .
`N(0) = 900` : `N(t) = 400*0,8^t + 500` .

Voor alle drie de formules geldt `lim_(n rarr oo) N(t)=500` .

`y=x+0,25x(1-x/100)=1,25x-0,0025x^2`

De dekpunten zijn `0` en `100` .

Voer in: `u(n) = u(n-1) + 0,25 *u(n-1) * (1 - (u(n-1))/100)` en `u(0) = {20}` .

De webgrafiek convergeert naar het snijpunt `(100, 100)` . De rij convergeert.

Zie de formule in het antwoord van b: `5333` herten.

Er moet gelden dat `K_0=K_1=0,2` .

Er moet gelden dat `K_2=0,2` en `K_1=0,16a` .

Een oplossing voor deze vergelijking is al bekend, namelijk `a=1,25` (zie a).

Ontbind dit in: `(a-1,25)(a^2-5a-6,25)` .

Dus `a=1,25 vv a=(5-sqrt(50))/2 vv a=(5+sqrt(50))/2` .

`a=1,25` voldoet niet, omdat dan de rij constant is.

De andere twee mogelijkheden voldoen wel.

`(25+15)/25 = 1,6`

Voer in: `y=25*1,6^t` of gebruik de recursieformule `u(n)=1,6*u(n-1)` met `u(0)=25` .

Bekijk de tabel.

`N(t) = N(t-1) + 0,6*(1 - (N(t-1))/225)*N(t-1)` met `N(0)=25` .

Hierin is `N(t)` het aantal brandnetels na `t` weken.

Voer in: `u(n)=u(n-1)+0,6*(1-(u(n-1))/225)*u(n-1)` en `u(text(nMin))={25}` .

Bekijk de tabel.

`S(t) = 1,0025S(t-1) - 1500` met `S(0) = 10^6` .

De rij convergeert niet, maar divergeert, het saldo wordt steeds hoger.

`S(t) = 400000 * 1,0025^t + 600000` . Het saldo wordt steeds groter.

Maximaal `2500` euro.

`A(t) = 1,90 * A(t-1)` met `A(0) = 3000` .

`A(t) = 3000 * 1,90^t`

`A = 1,95A - 0,00002A^2` oplossen geeft `A = 0 vv A = 47500` .

`47500` abonnees.