Een lineaire differentiaalvergelijking van de eerste orde kun je schrijven als:
`a*y' + b *y = c`
Alleen as `a` , `b` en `c` constanten zijn, kun je dergelijke differentiaalvergelijkingen oplossen door de variabelen te scheiden.
Een lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde kun je schrijven als:
`a*y'' + b *y' + c*y = d`
Als
`d = 0`
heet de differentiaalvergelijking homogeen.
Alleen als
`a`
,
`b`
en
`c`
constanten zijn, kun je een homogene lineaire differentiaalvergelijking van de tweede orde oplossen door in te vullen
`y = A * text(e)^(kt)`
en zijn eerste en tweede afgeleide. Je krijgt dan de karakteristieke vergelijking
`ak^2 + bk + c = 0`
, die meestal twee oplossingen
`k_1`
en
`k_2`
heeft. De algemene oplossing heeft dan de vorm
`y = A_1 text(e)^(k_1 t) + A_2 text(e)^(k_2 t)`
. Omdat
`k_1`
en
`k_2`
complexe getallen kunnen zijn heb je hierbij kennis nodig van het rekenen met dergelijke getallen, met name gebruik je de formule van Euler. Het geval dat
`k_1 = k_2`
blijft voor nu buiten beschouwing.