`a^2-1 =(a-1 )(a+1 )`

`a-1` is de voorganger van `a` en `a+1` de opvolger. Omdat `a` oneven is, zijn die getallen even.

Twee opeenvolgende even getallen zijn `2n` en `2n + 2` . Stel `n` is oneven, dan is `n = p+1` met `p` even. Dan is `2n+2=2(p+1)+2=2(p+1+1)=2(p+2)` .

`p+2` is weer even. `p+2=2q` .

`2n+2=4q` . Deelbaar door 4.

`a-1` en `a+1` zijn opeenvolgende even getallen. Dat betekent dat één van de twee door `4` deelbaar is en de andere door `2` . Dus is `(a-1)(a+1)` deelbaar door `8` en `a^2-1` dus ook.

`8=2^3` en `46=2*23` , zodat `text(kgv)(8,46)=2^3*23=184`

`text(kgv)(p, q) =p*q` als `p` en `q` priem en verschillend zijn.

`0` is deelbaar door elk getal, want er blijft altijd een rest `0` over. Dus `text(ggd)(a, 0)= a` .

Twee verschillende priemgetallen hebben geen gemeenschappelijke (priem)factor. Dus de grootste deler van beide is `1` .

`a` is even `rArr` `a^2` is even en `a^2` is even `rArr` `a` is even.

Als `a` een oneven getal is, dan is `a^2` ook oneven. Neem voor `a` het oneven getal `a= 2n + 1` waarbij `n` een geheel getal is. Kwadrateren geeft: `a^2 = (2n + 1)^2 = 4n^2 + 4n + 1 = 2(2n^2 + 2n) + 1` .
Dus is het kwadraat van een oneven getal inderdaad oneven.
Als `a^2` een oneven getal is, dan is `a` ook oneven.
Het bewijs is eenvoudig: als `a^2` is oneven, dan zijn er voor `a` twee mogelijkheden:

• `a` is even. In de uitwerking staat het bewijs dat het kwadraat van elk even getal ook even is, dus kan `a` niet even zijn.

• `a` is oneven. Als `a` oneven is, dan is zijn kwadraat ook oneven zoals we net bewezen hebben.

Q.e.d.

`a` kan zijn: een drievoud `a=3 n` , één meer dan een drievoud `a=3 n+1` , of twee meer dan een drievoud `a=3 n+2` .
Als `a=3 n` , dan is `a^3= (3 n) ^3=27 n^3=3 *9 n^3` ook een drievoud.
Als `a=3 n+1` , dan is `a^3= (3 n+1 ) ^3=27 n^3+27 n^2+9 n+1 =3 *(9 n^3+9 n^2+3 n)+1` geen drievoud.
Als `a=3 n+2` , dan is `a^3= (3 n+2 ) ^3=27 n^3+54 n^2+36 n+8 =3 *(9 n^3+18 n^2+12 n+2 )+2` geen drievoud.
Dus `a^3` kan alleen een drievoud zijn als `a` dat is.
Q.e.d.

`n` is deelbaar door `12` , dan `n=12 *p=3 *4 *p` en dus ook deelbaar door zowel `3` als `4` .

Als een getal deelbaar is door `3` en ook door `4` , dan is het getal deelbaar door `12` .

Bewijs: `n` is deelbaar door `3` en `4` , dan `n=4 *3 *q=12 *q` dus ook deelbaar door `12` .

`n` is deelbaar door `12` `⇔` `n` is deelbaar door `3` en `4` .

`n` is deelbaar door `12` , dan `n=12 *p=2 *6 *p` en dus ook deelbaar door zowel `2` als `6` .

`n` is deelbaar door `2` en `6` levert een probleem op omdat `6` al deelbaar is door `2` . Bijvoorbeeld het getal `18` is deelbaar door `6` en door `2` , maar niet door `12` .

`n` is deelbaar door `a*b` `⇔` `n` is deelbaar door `a` en `b` en de `text(ggd)(a, b) = 1` (ofwel `a` en `b` hebben geen gemeenschappelijke delers behalve `1` ).

Neem aan dat de bewering niet waar is. Dan zit er in elk hok maximaal `1` duif. In totaal zitten er dan maximaal `9*1 =9` duiven in de hokken. Dat klopt niet met het gegeven dat er `10` duiven in de hokken zitten. Dus tegenspraak, dus de bewering is waar.

Als er `n` duiven verdeeld moeten worden over `m` hokken, waarbij `n>m` , dan is er zeker één hok waarin minstens twee duiven zitten.

Je kunt maximaal vier getallen kiezen onder de vijf. Je kiest er daarom altijd minstens twee uit `5, 6, 7, 8, 9, 10` . Welke twee je daarvan ook kiest, hun som is altijd minstens `11` .

Het aantal andere mensen dat een ieder kent, is een getal uit de serie `1, 2, 3, ..., 49` . Omdat er maar `49` van die getallen zijn en `50` personen precies één zo'n getal krijgen, is er altijd minstens één getal bij dat bij twee personen terecht komt.

Een "bewijs uit het ongerijmde " houdt in dat je ervan uitgaat dat de stelling niet waar is en je vervolgens aantoont dat dit niet kan kloppen omdat er een tegenspraak ontstaat.

Neem aan dat de stelling niet waar is. Er bestaat dan een getal `p` dat niet te schrijven is als het product van priemgetallen. Omdat `p` zelf niet priem is, heeft `p` delers, bijvoorbeeld `p=a*b` . Voor die getallen `a` en `b` geldt nu dat minstens een van beide niet priem mag zijn, bijvoorbeeld `b` , dus `b=c*d` . Voor die getallen `c` en `d` geldt nu dat minstens een van beide niet priem mag zijn, bijvoorbeeld `d` , dus `d=e*f` , enzovoort.
Dit proces moet echter na een eindig aantal stappen eindigen, omdat `p` een eindig getal is. In dat geval bestaat `p` echter uit een product van alleen priemgetallen en dat is in strijd met de aanname dat de stelling niet waar is.

`text(kgv)(5,7) = 35` en `text(kgv)(10,15) = 30`

`text(kgv)(140, 504) = 2520`

`text(ggd)(140,504) = 2^2*7 =28`

`text(ggd)(143, 2541) = 11`

`text(ggd)(39,102) = 3`

`text(kgv)(39, 102) = 1326`

Oneven en even wisselen elkaar af en de drievouden vind je bij elk derde getal, als je vanaf `1` begint.

`n^5-n=n(n-1 )(n+1 )(n^2+1 )`
Neem nu voor `n` de volgende vijf mogelijkheden: `n=5 k` , `n=5 k+1` , `n=5 k+2` , `n=5 k+3` of `n=5 k+4` .
Als `n=5 k` , dan is `n^5-n=5 k(5 k-1 )(5 k+1 )(25 k^2+1 )` , dus `n^5-n` is deelbaar door `5` en ook door `2` en `3` (drie opeenvolgende getallen), dus deelbaar door `5 *3 *2 =30` .

Als `n=5 k+1` dan is `n^5-n=(5 k+1 )*5 k*(5 k+2 )( (5 k+1 ) ^2+1 )` , dus `n^5-n` is deelbaar door `5` en ook door `2` en `3` (drie opeenvolgende getallen), dus deelbaar door `5 *3 *2 =30` , enzovoort.

Als je van getal `a` , het grootste getal, een aantal keer `b` aftrekt, dan blijft daar een rest over ( `r` ). Dan geldt `a-q*b=c*p-q*d*p=r` waarbij `c` en `q*d` geen gemeenschappelijke deler kunnen hebben, omdat dan `p` niet de g.g.d. van `a` en `b` was.

Dus hebben `r=c*p-q*d*p` en `b=q*d*p` ook `p` als grootste gemeenschappelijke deler.

Je begint met het grootste getal. In plaats van `a-q*b=r` gebruik je `a=q*b+r` .

Van `504` kun je `3*140` aftrekken, rest `84` . `504 = 3 *140 +84` , dus de `text(ggd)(140, 504)` = de `text(ggd)(140, 84)` .
Van `140` kun je `1*84` aftrekken, rest `56` . `140 =1 *84 +56` , dus de `text(ggd)(140, 84)` = de `text(ggd)(84, 56)` .

Van `84` kun je `1*56` aftrekken, rest `28` . `84 =1 *56 +28` dus de `text(ggd)(84, 56)` = de `text(ggd)(56, 28)` .

Van `56` kun je `2*28` aftrekken, rest `0` . `56 =2 *28 +0` dus de `text(ggd)(56, 28)` = de `text(ggd)(28, 0) = 28` .

Van `2541` kun je `17*143` aftrekken, rest `110` . `2541 =17 *143 +110` , dus de `text(ggd)(143, 2541)` = de `text(ggd)(143, 110)` .

Van `143` kun je `1*110` aftrekken, rest `33` . `143 =1 *110 +33` , dus de `text(ggd)(143, 110)` = de `text(ggd)(110, 33)` .

Van `110` kun je `3*33` aftrekken, rest `11` . `110 =3 *33 +11` , dus de `text(ggd)(110, 33)` = de `text(ggd)(33, 11)` .

Van `11` kun je `1*11` aftrekken, rest `0` . `11 =1 *11 +0` , dus de `text(ggd)(33, 11)` = de `text(ggd)(11, 0)` .

`text(ggd)(33, 91) = 1`

`text(kgv)(33, 91) = 3003`

Algoritme van Euklides: `1 =4 *91 -11 *33` , dus `4` sprongen van `91` naar rechts en `11` van `33` naar links.