Complexe getallen

Complexe getallen > Vergelijkingen

123456Vergelijkingen

Voorbeeld 1

Bepaal alle oplossingen in het complexe vlak van de vergelijking `z^3=text(-)1` .

> antwoord

Het getal `text(-)1` is te schrijven als: `text(-)1=text(e)^(πtext(i))` .

Omdat `z=rtext(e)^(text(i)φ)` , kun je de gegeven vergelijking schrijven als: `(rtext(e)^(text(i)φ))^3=text(e)^(πtext(i))` , zodat `r^3text(e)^(3text(i)φ)= text(e)^(πtext(i))` .

Dit betekent dat: `r^3=1` en dus `r=1` .
En ook dat: `3φ=π+k·2π` en dus `φ=1/3*pi + k*2/3*pi` met $k \in ℤ$ .

Daarmee heb je drie oplossingen in het complexe vlak gevonden, te weten:

`z_1=1text(e)^(1/3πtext(i)) = 1(cos(1/3 pi) + text(i) sin(1/3 pi)) = 1/2 + 1/2 sqrt(3) text(i)`
`z_2=1text(e)^(πtext(i)) = 1(cos(pi) + text(i) sin(pi)) = text(-)1`
`z_3=1text(e)^(5/3πtext(i)) = 1(cos(5/3 pi) + text(i) sin(5/3 pi)) = 1/2 - 1/2 sqrt(3) text(i)`

Opgave 3

In Voorbeeld 1 zie je hoe je de vergelijking $z^{3} = - 1$ wordt opgelost door gebruik te maken van $z = r \cdot e^{i φ}$ .

Los op dezelfde manier op $z^{3} = 1$ .

Los op dezelfde manier op $z^{4} = - 1$ .

verder | terug