Complexe getallen

Complexe getallen > Complexe functies

Overzicht

123456Complexe functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

$f(1+2text(i))=2+4text(i)$

$f(1+2text(i))=text(-)2+text(i)$

$f(1+2text(i))=text(i)$

$f(1+2text(i))=text(-)3+4text(i)$

$f(1+2text(i))=1/(1+2text(i))=0,2-0,4text(i)$

Opgave 1

$f(text(-i))=text(-i)+3 +2 text(i)= 3 +text(i)$
$f(2 -text(i))=2 - text(i)+3 +2 text(i)= 5 +text(i)$
$f(2 +3 text(i))=2+3 text(i)+3 +2 text(i)= 5 +5 text(i)$
$f(3 text(i))=3text(i)+3 +2 text(i)=3 +5 text(i)$

Functie $f$ telt bij elke $z$ uit het domein het complexe getal $3+2i$ op. Het bereik is daarom $text(B)_f=[3, 5]xx[1, 5]$ .

Een cirkel met middelpunt $3 + 2 i$ en straal $2$ .

Verschuiving van $a$ in $x$ -richting en $b$ in $y$ -richting.

Opgave 2

$g(text(-i))= (1 + text(i))*text(-i) =1 -text(i)$
$g(2 -text(i))=(1 +text(i))*(2-text(i)) =3 +text(i)$
$g(2 +3 text(i))=(1 +text(i))*(2 + 3text(i)) =text(-)1 +5 text(i)$
$g(3 text(i))=(1 +text(i))*3text(i) =text(-)3 +3text(i)$

Een rechthoek met de uitkomsten bij a als hoekpunten.

Alle waarden van $z$ met $| z | \leq 2 \sqrt{2}$ .

alle waarden van $z$ met $|z| le 2sqrt(2)$ en $0,25pi le text(arg)(z) le 0,75pi"$

Draaiing van $0,25 π$ en vermenigvuldigen met $\sqrt{2}$ .

Opgave 3

Een draaivermenigvuldiging om de oorsprong met factor $sqrt(2)$ en draaihoek $1/4pi$ en een translatie over vector $((3),(2))$

$f(text(-i))= (1 +text(i))* text(-)text(i)+3 +2text(i) = 4 +text(i)$
$f(2 - text(i))=(1 +text(i))* (2-text(i))+3 +2text(i)=6 +3text(i)$
$f(2 +3 text(i))=(1 +text(i))*(2+3 text(i))+3 +2text(i)=2 +7 text(i)$
$f(3 text(i))=(1 +text(i))* 3text(i)+3 +2text(i)=5 text(i)$

Dat is een rechthoek met hoekpunten $4+text(i)$ , $6+3text(i)$ , $2+7text(i)$ en $5text(i)$ .

Opgave 4

$g(0 )= 2 text(i)*0+3 -text(i) =3 -text(i)$
$g(3 )=2 text(i)*3+3 -text(i) =3 +5 text(i)$
$g(3 text(i))=2 text(i)*3text(i)+3 -text(i) =text(-)3 -text(i)$

Een draaivermenigvuldiging om de oorsprong met factor $|2text(i)| = 2$ en draaihoek $text(arg)(2text(i))=1/2pi$ , een translatie over vector $((3),(text(-)1))$ (translatie van $3$ ten opzichte van de $y$ -as en een translatie van $text(-)1$ ten opzichte van de $x$ -as).

Het domein van $g$ is een kwart cirkel tussen de $x$ -as en $y$ -as met straal $3$ .
Voor het bereik wordt deze kwartcirkel $1/2pi$ gedraaid en de straal wordt twee keer zo groot. Het middelpunt wordt verschoven naar $(3, text(-)1)$ .

Opgave 5

$z_1 = 0$
$z_2 = 2(cos(1/4pi)+sin(1/4pi)text(i)) = sqrt(2)+ sqrt(2)text(i)$
$z_3 = 2(cos(text(-)1/4pi) + sin(text(-)1/4pi)text(i)) = sqrt(2) -sqrt(2)text(i)$

$f(0 )=0^2 = 0$
$f(sqrt(2 )+sqrt(2)text(i))= (sqrt(2)+sqrt(2)text(i))^2= 2 + 2*2*text(i) +2text(i)^2 =4 text(i)$
$f(sqrt(2)-sqrt(2)text(i))=(sqrt(2)-sqrt(2)text(i))^2= 2 - 2*2*text(i) +2text(i)^2=text(-)4 text(i)$

${(2 + b i)}^{2} = 4 - b^{2} + 4 b i$ wordt parabool van $8 i$ naar $- 8 i$ en top $(4, 0)$

Opgave 6

$f (2) = 0,5$ en $f (2 i) = - 0,5 i$

$\frac{1}{0}$ is niet gedefinieerd

$|f(z)| = 1 / (|z|)$
Als $|z| le 2$ volgt daaruit $|f(z)| ge 1/2$ .
$text(arg)(f(z)) = text(-arg)(z)$
Als $0 le text(arg)(z) le 1/2pi$ volgt daaruit $text(-)1/2 π≤text(arg)(f(z))≤0$ .

$|f(z)|≥1/4$ en $text(-)pi ≤ text(arg)(f(z)) le 0$

Opgave 7

$f(0 )=2 text(i)*0+1 -text(i)=1 -text(i)$
$f(3 )=2 text(i)*3+1 -text(i)=1 +5 text(i)$
$f(2 text(i))=2 text(i)*2text(i)+1 -text(i)=text(-)3 -text(i)$
$f(3 +2 text(i))=2 text(i)(3+2text(i))+1 -text(i)=text(-)3 +5 text(i)$

Het bereik is een rechthoek met de uitkomsten uit a als hoekpunten.
$text(B)_f=[text(-)3, 1]xx[text(-)1, 5]$

Een draaivermenigvuldiging om de oorsprong met factor $abs(2text(i))=2$ en draaihoek $text(arg)(2text(i))=1/2pi$ en een translatie over vector $((1),(text(-)1))$ (translatie van $1$ ten opzichte van de $y$ -as en een translatie van $text(-)1$ ten opzichte van de $x$ -as.

Herleid de functie met $z = x + ytext(i)$ .
$f(z)=2 text(i)z+1 -text(i) = 2text(i)*(x + ytext(i))+1 - text(i) = (1 -2 y)+(2 x-1 )text(i)$
Het domein van $f(z)$ is $0 le x le 3$ en $0 le y le 2$ .
Dit geeft het bereik $text(-)3 ≤ 1 - 2 y ≤ 1$ en $text(-)1 ≤ 2 x-1 ≤ 5$ .

Opgave 8

Het domein is een vierkant van $3$ bij $3$ met als middelpunt $O$ .
$f(z)$ ontstaat door een draaiing van $1/2pi$ en een vermenigvuldiging van $2$ .
Het bereik is daarom een vierkant van $12$ bij $12$ met als middelpunt $O$ .

$g(z)$ ontstaat door een translatie van $text(-)2$ ten opzichte van de $x$ -as en een translatie van $1$ ten opzichte van de $y$ -as.
Het bereik is $[text(-)2, 4]xx[text(-)5, 1]$ .

Het domein is een vierkant met hoekpunten $text(-)3-3text(i)$ , $3-3text(i)$ , $3+3text(i)$ en $text(-)3+3text(i)$ .
$f(text(-)3-3text(i))=text(-)1-12text(i)$
$f(3-3text(i))=11$
$f(3+3text(i))=text(-)1+12text(i)$
$f(text(-)3+3text(i))=text(-)13$
Het bereik is een vierkant met hoekpunten $text(-)1 +12text(i)$ , $11$ , $text(-)13$ en $text(-)1 -12text(i)$ .

$k(z)=z/(1+text(i))=1/2(1-text(i))z$

Het domein is een vierkant met hoekpunten $text(-)3-3text(i)$ , $3-3text(i)$ , $3+3text(i)$ en $text(-)3+3text(i)$ .
$f(text(-)3-3text(i))=text(-)3$
$f(3-3text(i))=text(-)3text(i)$
$f(3+3text(i))=3$
$f(text(-)3+3text(i))=3text(i)$
Het bereik is een vierkant met hoekpunten $3$ , $text(-)3$ , $3text(i)$ en $text(-)3 text(i)$ .

Opgave 9

$|f(z)|≤8$ en $3/4 π≤text(arg)(f(z))≤2 1/4 π$

Als alle $z$ op een lijn door $O$ liggen, dan is $text(arg)(z)$ en ook $text(arg)(z^3)=3text(arg)(z)$ constant.

Dan liggen de functiewaarden niet op een rechte lijn.

Opgave 10

$f(2text(i))=sqrt(2text(i))=sqrt(2text(e)^(1/2pi text(i)))=(2text(e)^(1/2pi text(i)))^(1/2)=sqrt(2)text(e)^(1/4pi text(i))=1+text(i)$
$f(text(-)2text(i))=sqrt(text(-)2text(i))=sqrt(2text(e)^(text(-)1/2pi text(i)))=(2text(e)^(1/2pi text(i)))^(1/2)=sqrt(2)text(e)^(text(-)1/4pi text(i))=1-text(i)$

$|z| le 2$ en dit geeft $|f(z)| le sqrt(2)$ .
$text(arg)(f(z))=1/2text(arg)(z)$ en dit geeft $text(-)1/4pi le text(arg)(f(z)) le 1/4pi$ .

Je krijgt een kwart cirkel met straal $sqrt(2)$ en als "hoekpunten" $1-text(i)$ en $1+text(i)$ .

Opgave 11

Er wordt op $z$ een draaivermenigvuldiging gedaan met een factor van $sqrt(2)$ en een draaihoek van $1/4pi$ . Daarna wordt er een translatie van $2$ ten opzichte van de $x$ -as toegepast.
De zijden van het vierkant worden daarom $sqrt(2)$ keer zo groot.
De oppervlakte van het bereik is daarom $25*sqrt(2)*sqrt(2)=50$ .

Opgave 12Complexe e-macht

Complexe e-macht

$text(e)^(1+pitext(i))=text(e)^1*text(e)^(pitext(i)) = text(e) * text(-)1 = text(-e)$

$text(e)^(1+0,5pitext(i))=text(e)^1*text(e)^(0,5pitext(i)) = text(e) * text(i) = text(ei)$

$f(x+ytext(i)) = text(e)^(x+ytext(i))=text(e)^x*text(e)^(ytext(i))$ , dus $|f(z)| = text(e)^x$ en $arg(f(z))=y$ .

Het argument $y$ kan alle waarden aannemen, maar bij $y=p+k*2pi$ horen steeds dezelfde hoofdwaarden van het argument.

Bijvoorbeeld $z=x+ptext(i)$ en $z=x+(p + 2pi)text(i)$ leveren dezelfde functiewaarde op.

Het binnengebied van een cirkel om $O$ met straal $2$

$D_{f} = [- 2, 2] \times [- π, π]$

$ln(text(i)) = ln(text(e)^(0,5pi)) = 0,5pi$

$ln(text(-)1) = ln(text(e)^(pi)) = pi$

$g (1 + i) = ln (\sqrt{2}) + 0,25 π i; g (3 i) = ln (3) + π i; g (2 - 2 i) = ln (\sqrt{8}) - 0,25 π i$

Alle complexe getallen $x + i y$ liggen op lijnen van de vorm $y = k π$ en $x \leq ln (2)$ .

Opgave 13

$f (0) = - i; f (i) = 2 - (2 + 2 \sqrt{3}) i; f (3 i) = 3 \sqrt{3} + 2 i; f (2 + 3 i) = 2 + 3 \sqrt{3} + (2 - 2 \sqrt{3}) i$

Een rechthoek met hoekpunten $2 + 3 \sqrt{3} + (2 - 2 \sqrt{3}) i$ , etc.

Een draaiing van $- \frac{1}{3} π$ en vermenigvuldigen met $2$ en verschuiving van $- 1$ in de $y$ -richting.

$z = - \frac{1}{3} \sqrt{3}$

Opgave 14

$| f (z) | \leq 9$ en $text(-)0,5pi le text(arg)(f(z)) le 0,5pi$ .

$| f (z) | \leq 15$ en $text(-)0,05pi le text(arg)(f(z)) le 0,55pi$ .

Een cirkelsector met middelpunt $3 - i$ , straal $1,5$ en $0,25pi le text(arg)(f(z)) le 0,75pi$ .

| Testen