Lineaire functies

Lineaire functies > Lineaire vergelijkingen

12345Lineaire vergelijkingen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

`57,5` minuten.

Noem de tijd in uur `t` en de afstand die de auto's afleggen `a` .
Auto `B` rijdt op `t=0` onder het viaduct door, dit is het startpunt `S` . Auto `B` is dan nog `115 * 5/60 = 115/12` km van `S` verwijderd.

Na `t` uur is `A` van `S` verwijderd: `a = 105*t` km.

Na `t` uur is `B` van `S` verwijderd: `a = 115*t - 115/12` km.

Beide afstanden zijn gelijk als `105*t = 115*t - 115/12` .

Dit geeft `t = 23/24` uur en dat is `57,5` minuten.

Opgave 1

Doen; ga na dat je hetzelfde antwoord krijgt als in de uitleg.

Er geldt $- x + 12 = x + 13$ oplossen. Dit geeft $2 x = - 1$ en dus $x = - 0,5$ .
Het snijpunt is $(- 0,5; 12,5)$ .

$6 x - 1 = 3 x + 3$ oplossen geeft $3 x = 4$ en dus $x = \frac{4}{3}$ .
Het snijpunt is $(\frac{4}{3}, 7)$ .

$2 x = 3$ oplossen geeft $x = 1,5$ .
Het snijpunt is $(1,5; 3)$ .

Opgave 2

Eigen antwoord. Ook als het je niet lukt kun je de rest van de opgave maken.

`s = 100*t` en `s = 70 - 120t` .

`100t = 70 - 120t` geeft `220t = 70` en dus `t = 70/220 ~~ 0,32` uur.
Daarbij hoort `s ~~ 100*0,32 = 32` km.

Opgave 3

Doen, bekijk achteraf of je hetzelfde hebt gedaan als in het voorbeeld.

De lineaire formule bij lijn $l$ is $y = - 0,5 x + 5$ .
Het snijpunt vind je uit $- 0,5 x + 5 = 0,4 x - 2$ .
Het snijpunt wordt $(\frac{70}{9}, \frac{10}{9})$ .

$l : y = 0,5 x$ en $m : y = - x + 4$ .
Voor het snijpunt is $0,5 x = - x + 4$ .
Je vindt $(\frac{8}{3}, \frac{4}{3})$ .

Opgave 4

Voor kaars I geldt: $L = 35 - 1,875 t$ .
Voor kaars II geldt: $L = 42 - 2,75 t$ .
Het gaat nu om de nulpunten van de grafieken bij deze formules.
Voor kaars I levert $35 - 1,875 t = 0$ op: $t = 18 \frac{2}{3}$ .
Voor kaars II levert $42 - 2,75 t = 0$ op: $t = 15 \frac{3}{11}$ .
Reken na dat het tijdsverschil ongeveer `3` uur en `24` minuten is.

Opgave 5

De vaste kosten bedragen $3000 + 500 = 3500$ euro.
De kosten per gereden km bedragen `1,80 // 12 = 0,15` euro.

De vaste kosten bedragen $4000 + 750 = 4750$ euro.
De kosten per gereden km bedragen `1,20 // 20 = 0,06` euro.

$3500 + 0,15 a = 4750 + 0,06 a$ oplossen geeft `a ~~ 13889` km. En dus ben je inderdaad vanaf ongeveer `13900` km voordeliger uit met een dieselauto.

Opgave 6

$T K = 350000 + 6,50 q$

$T O = 11,50 q$

Je vindt $(70000, 805000)$ . Dit is het punt waarop het bedrijf uit de kosten gaat komen, vandaar de naam. Als er meer dan $70000$ van die lampen worden verkocht, maken ze winst.

Opgave 7

$v + k = 300$ en $3 v + 2 k = 787$ .

$k = - v + 300$ en $k = - 1,5 v + 393,5$ .

$- v + 300 = - 1,5 v + 393,5$ oplossen geeft $v = 187$ . Het gevraagde snijpunt is $(187, 113)$ .

`187` kaartjes voor volwassenen en `113` kinderkaartjes.

Opgave 8

Doen, eventueel met GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine. De grafiek van $y_{1}$ gaat door $(0, 0)$ (en dit is ook gelijk het nulpunt) en $(4, 1)$ . De grafiek van $y_{2}$ gaat door $(0, 5)$ en $(- 2,5; 0)$ (en dit is ook gelijk het nulpunt).

$\frac{1}{4} x = 2 x + 5$ geeft $x = - \frac{20}{7}$ . Het snijpunt is $(- \frac{20}{7}; - \frac{5}{9})$ .

Opgave 9

$y_{1} = - 0,25 x + 1,25$ en $y_{2} = - \frac{5}{3} x + 5$ .

$- 0,25 x + 1,25 = - \frac{5}{3} x + 5$ geeft $- 3 x + 15 = - 20 x + 60$ en dus $x = \frac{45}{17}$ . Het snijpunt is $(\frac{45}{17}, \frac{10}{17})$ .

Opgave 10

$T K = 310000 + 82 x$

$T O = 124,5 x$

$310000 + 82 x = 124,5 x$ levert op `x ~~ 7294,1` . Er moeten dus minstens `7295` keukenmachines worden verkocht.

Opgave 11

Noem $G$ het totale gewicht van de vrachtauto met $x$ m³ zand. Dan is de bijbehorende formule $G = 1,5 x + 4,75$ . (Formule bij een lijn door twee punten.)
De vrachtauto weegt leeg dus $4,75$ ton.

Opgave 12

Eerst omrekenen van km/h naar m/s: de cheetah rent met `30` m/s en de zebra met `20` m/s.

Zebra: `s = 150 + 20t` en cheetah `s = 30t` .

`150+20t = 30t` geeft `t = 15` s.

Opgave A1Ontbrekend roosterhokje

Ontbrekend roosterhokje

Doen, gewoon rechthoekige driehoeken gebruiken.

De twee grootste "rechthoekige driehoeken" in figuur II zijn helemaal geen driehoeken, maar vierhoeken. Er zit een knikje in wat ogenschijnlijk de schuine zijde is. Dat kun je laten zien met behulp van hellingsgetallen. Kijk in figuur II maar eens naar de grote "rechthoekige driehoek" linksonder. Tot het hoekpunt van de rechthoek is de helling van de "schuine zijde" $\frac{3}{8} = 0,375$ , daarna $\frac{2}{5} = 0,4$ .

Opgave A2Door één punt?

Door één punt?

Stel eerst van elke lijn een vergelijking op. Neem de twee eenvoudigste vergelijkingen om het snijpunt van die twee lijnen te berekenen. Controleer dat dit snijpunt ook op de derde lijn ligt. Ze gaan alle drie door $(110, 66)$ .

Opgave T1

De twee roosterpunten zijn $(- 2, 6)$ en $(5, 2)$ . Het hellingsgetal van de lijn $m$ wordt daarom $\frac{2 - 6}{5 - - 2} = - \frac{4}{7}$ .
Je krijgt dan een formule van de vorm $y = - \frac{4}{7} x + b$ .
Nog even de coördinaten van één van beide punten invullen en je kunt $b$ berekenen. De gevraagde lineaire functie wordt $y = - \frac{4}{7} x + \frac{34}{7}$ .

Los op `2x - 2 = text(-)4/7 x + 34/7` .
Beide zijden met `7` vermenigvuldigen en je krijgt `14x - 14 = text(-)4x + 34` en dus `18x = 48` zodat `x = 24/9 = 8/3` . Het snijpunt is `S(8/3, 10/3)` .

$- \frac{4}{7} x + \frac{34}{7} = 0$ geeft $x = \frac{34}{4} = 8,5$ . Het nulpunt is $(8,5; 0)$ .

Het hellingsgetal van deze lijn is hetzelfde als dat van lijn $l$ . De formule heeft dus de vorm $y = 2 x + b$ . Nog even de coördinaten van het gegeven punt invullen en je vindt $y = 2 x - 8$ .

Opgave T2

Met de Toyota `416` km en met de Renault `250` km.

`K_T = 75 + 0,12 a` en `K_R = 100 + 0,10 a`

De Renault is goedkoper bij meer dan `1250` km.

verder | terug