Kwadratische functies

Kwadratische functies > Ontbinden in factoren

12345Ontbinden in factoren

Uitleg

De nulpunten van een kwadratische functie als `y = x^2 + 5x + 6` kun je vinden door `x^2 + 5x + 6 = 0` op te lossen.

In de figuur zie je dat `x^2 + 5x + 6 = (x + 3) * (x + 2)` .
Immers `3 + 2 = 5` en `3 * 2 = 6` . Je hebt zo van een optelling van drie termen een vermenigvuldiging van twee factoren gemaakt. De vergelijking wordt daardoor `(x + 3) * (x + 2) = 0` . En van zo'n vergelijking kun je bijna meteen de oplossingen zien.

`(x + 3) * (x + 2) = 0` betekent namelijk: `x + 3 = 0` of `x + 2 = 0` of beide zijn `0` .

Kortweg: `(x + 3) * (x + 2) = 0` is gelijkwaardig met `x + 3 = 0 vv x + 2 = 0` .

De vergelijking `x + 3 = 0` levert `x = text(-)3` op.
En de vergelijking `x + 2 = 0` levert `x = text(-)2` op.
De oorspronkelijke vergelijking heeft daarmee de oplossing `x = text(-)3 vv x = text(-)2` .
Dat zijn twee waarden voor `x` die beide de gegeven vergelijking waar maken.

De gebruikte techniek heet de somproductmethode, omdat de twee waarden `3` en `2` kunnen worden gevonden uit het feit dat hun som `3 + 2 = 5` is en hun product `3 * 2 = 6` is.

Als je een factor buiten haakjes haalt of de som- en productmethode gebruikt, noem je dat ontbinden in factoren. Dat is een manier om sommige vergelijkingen snel op te lossen. Maar dan moet het ontbinden in factoren wel kunnen. En dat is lang niet altijd het geval.

Opgave 3

In Uitleg 2 zie je hoe de vergelijking `x^2 + 5x + 6 = 0` wordt opgelost zonder een kwadraat af te splitsen. Er wordt een figuur gebruikt. Maar je kunt de somproductmethode ook toepassen zonder een figuur te maken.

Werk in de uitdrukking `(x + 3)(x + 2)` de haakjes weg en herleid hem zover mogelijk.

Wat valt je op aan het getal voor de `x` als je de haakjes hebt weggewerkt? En wat valt op aan de term waar geen `x` in voorkomt?

Maak een tabel van alle mogelijke combinaties van twee gehele getallen (ook negatieve) die als product `6` hebben.

Hoe vind je met behulp van de tabel bij c de juiste ontbinding van `x^2 + 5x + 6` ?

Gebruik een vergelijkbare tabel om een ontbinding te vinden van `x^2 + 9x + 18` .

Los op: `x^2 + 9x + 18 = 0`

Opgave 4

Los de vergelijkingen op door de somproductmethode te gebruiken.

`x^2 + 6x + 5 = 0`

`x^2 + 19x + 84 = 0`

`x^2 + 7x + 12 = 0`

`x^2 + 7x + 10 = 0`

Opgave 5

Je kunt het ontbinden in factoren met de somproductmethode ook toepassen als er negatieve getallen in je vergelijking voorkomen. Los daarmee de volgende vergelijkingen op.

`x^2 - 5x + 6 = 0`

`x^2 + 5x - 6 = 0`

`x^2 - 5x - 6 = 0`

`x^2 - 6x + 5 = 0`

verder | terug