De algemene formule voor een parabool met top
`(p, q)`
is:
`y = a(x-p)^2+q`
.
In de situatie van de brug geldt
`p = d/2`
en
`q = h`
.
Vul dit in de algemene formule in.
Voor de brug geldt:
`y = a(x-d/2)^2+h`
.
`a` is nog niet bekend. Je moet een `a` vinden zodat de functie door de oorsprong gaat, en ook het punt `(d, 0)` bij de functie hoort.
Een
`x`
buiten haakjes halen geeft:
`x(x + 6) = 0`
.
Dit betekent:
`x = 0 vv x + 6 = 0`
.
Oplossing:
`x = text(-)6 vv x = 0`
.
Een
`x`
buiten haakjes halen geeft:
`x(x - 13) = 0`
.
Dit betekent:
`x = 0 vv x - 13 = 0`
.
Oplossing:
`x = 0 vv x = 13`
.
Dit wordt: `x^2 - 3x = 0`
Een
`x`
buiten haakjes halen geeft:
`x(x - 3) = 0`
.
Dit betekent:
`x = 0 vv x - 3 = 0`
.
Oplossing:
`x = 0 vv x = 3`
.
Een
`x`
buiten haakjes halen geeft:
`x(5 - x) = 0`
.
Dit betekent:
`x = 0 vv 5 - x = 0`
.
Oplossing:
`x = 0 vv x = 5`
.
`x = 0 vv x = 2,5`
`x = text(-)8/3 vv x = 0`
`x = 0 vv x = 100`
`x = 0 vv x = 7`
`(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6`
`5 = 3 + 2` en `6 = 3 * 2`
Zie de tabel.
product `6` | |
`1` | `6` |
`text(-)1` | `text(-)6` |
`2` | `3` |
`text(-)2` | `text(-)3` |
Je zoekt uit de lijst die je bij c hebt gemaakt de twee getallen die ook nog samen opgeteld `5` opleveren. Dat zijn `2` en `3` .
product `18` | |
`1` | `18` |
`text(-)1` | `text(-)18` |
`2` | `9` |
`text(-)2` | `text(-)9` |
`3` | `6` |
`text(-)3` | `text(-)6` |
Zoek nu de twee getallen die als som `9` hebben. Dat zijn `3` en `6` .
Je krijgt: `x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)` .
`x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6) = 0`
Dit geeft: `x+3=0 vv x+6=0`
`x = text(-)3 vv x = text(-)6`
`x^2+6x+5` | `=` | `0` | |
`(x+1)(x+5)` | `=` | `0` | |
`x+1` | `=` | `0 vv x+5=0` | |
`x` | `=` | `text(-)1 vv x=text(-)5` |
`x^2+19x+84` | `=` | `0` | |
`(x+7)(x+12)` | `=` | `0` | |
`x+7` | `=` | `0 vv x+12=0` | |
`x` | `=` | ` text(-)7 vv x= text(-)12` |
`x^2+7x+12` | `=` | `0` | |
`(x+3)(x+4)` | `=` | `0` | |
`x+3` | `=` | `0 vv x+4=0` | |
`x` | `=` | ` text(-)3 vv x= text(-)4` |
`x^2+7x+10` | `=` | `0` | |
`(x+2)(x+5)` | `=` | `0` | |
`x+2` | `=` | `0 vv x+5=0` | |
`x` | `=` | ` text(-)2 vv x= text(-)5` |
product `6` | |
`1` | `6` |
`text(-)1` | `text(-)6` |
`2` | `3` |
`text(-)2` | `text(-)3` |
`x^2-5x+6` | `=` | `0` | |
`(x-2)(x-3)` | `=` | `0` | |
`x-2` | `=` | `0 vv x-3=0` | |
`x` | `=` | `2 vv x=3` |
`x^2+5x-6` | `=` | `0` | |
`(x-1)(x+6)` | `=` | `0` | |
`x-1` | `=` | `0 vv x+6=0` | |
`x` | `=` | `1 vv x= text(-)6` |
`x^2-5x-6` | `=` | `0` | |
`(x+1)(x-6)` | `=` | `0` | |
`x+1` | `=` | `0 vv x-6=0` | |
`x` | `=` | ` text(-)1 vv x=6` |
`x^2-6x+5` | `=` | `0` | |
`(x-1)(x-5)` | `=` | `0` | |
`x-1` | `=` | `0 vv x-5=0` | |
`x` | `=` | `1 vv x=5` |
Alle termen aan de linkerzijde van het isgelijkteken bevatten een factor `x` en rechts staat dat er `0` uit moet komen.
`3x^2+8x=0`
Haal de factor `x` buiten de haakjes: `x(3x + 8) = 0`
Dit geeft: `x = 0 vv 3x + 8 = 0`
Dit geeft: `x = 0 vv 3x = text(-)8`
Dit geeft: `x = 0 vv x = text(-)8/3`
`2x^2 - 13x = 0`
Factor `x` buiten haakjes halen geeft: `x(2x - 13) = 0`
`x` | `=` | `0 vv 2x-13=0` | |
`x` | `=` | `0 vv 2x=13` | |
`x` | `=` | `0 vv x=6,5` |
`3x^2 ` | `=` | ` 71x` | |
`3x^2-71x` | `=` | `0` | |
`x(3x-71)` | `=` | `0` | |
`x` | `=` | `0 vv 3x-71=0` | |
`x` | `=` | `0 vv 3x=71` | |
`x` | `=` | `0 vv x=71/3` |
`x(x - 3) = 2x`
geeft
`x^2 - 3x = 2x`
en dus
`x^2 - 5x = 0`
.
Factor buiten haakjes halen:
`x(x - 5) = 0`
.
Splitsen:
`x = 0 vv x - 5 = 0`
, dus
`x = 0 vv x = 5`
.
Direct worteltrekken: `x = text(-)9 vv x = 9` .
Omdat er voor het product maar een beperkt aantal mogelijkheden is. Voor de som kunnen er steeds oneindig veel combinaties worden gemaakt.
Voor het product `text(-)5` zijn er maar twee mogelijkheden met gehele getallen: `text(-)1` en `5` of `1` en `text(-)5` .
Nee, een tabel met getallen die als product `text(-)6` hebben levert geen combinatie op waarbij de som `text(-)4` is.
product `8` | |
`1` | `8` |
`text(-)1` | `text(-)8` |
`2` | `4` |
`text(-)2` | `text(-)4` |
`x^2 + 6x + 8 ` | `=` | ` 0` | |
`(x+2)(x+4)` | `=` | `0` | |
`x+2` | `=` | `0 vv x+4=0` | |
`x` | `=` | ` text(-)2 vv x= text(-)4` |
`x^2 + 3x ` | `=` | ` 18` | |
`x^2+3x-18` | `=` | `0` | |
`(x-3)(x+6)` | `=` | `0` | |
`x-3` | `=` | `0 vv x+6=0` | |
`x` | `=` | `3 vv x= text(-)6` |
`x^2 + 15 ` | `=` | ` 8x` | |
`x^2-8x+15` | `=` | `0` | |
`(x-3)(x-5)` | `=` | `0` | |
`x-3` | `=` | `0 vv x-5=0` | |
`x` | `=` | `3 vv x=5` |
Bedenk dat er staat: `x^2+0x-16=0`
`(x+4)(x-4)` | `=` | `0` | |
`x+4` | `=` | `0 vv x-4=0` | |
`x` | `=` | ` text(-)4 vv x=4` |
In dit geval is het sneller om te kiezen voor:
`x^2` | `=` | `16` | |
`x` | `=` | `±sqrt(16)=±4` | |
`x` | `=` | `text(-)4 vv x=4` |
De totale lengte van het hekwerk is `100` m en daar gaan twee breedtes van `b` van af.
De kwadratische functie is `A = text(-)2b^2 + 100b` , dus het getal voor `b^2` is negatief. Daarom is de grafiek een bergparabool.
In het voorbeeld vind je de uitwerking wel.
`x^2 - 27x` | `=` | `0` |
|
`x(x - 27)` | `=` | `` |
|
`x` | `=` | `0 vv x=27` |
`x^2 + 18x + 80 ` | `=` | ` 0` | |
`(x+8)(x+10)` | `=` | `0` | |
`x+8` | `=` | `0 vv x+10=0` | |
`x` | `=` | ` text(-)8 vv x= text(-)10` |
`x^2 + 3x ` | `=` | ` 10` | |
`x^2+3x-10` | `=` | `0` | |
`(x+5)(x-2)` | `=` | `0` | |
`x+5` | `=` | `0 vv x-2=0` | |
`x` | `=` | ` text(-)5 vv x=2` |
`x^2 - 10x + 24 ` | `=` | ` 0` | |
`(x-4)(x-6)` | `=` | `0` | |
`x-4` | `=` | `0 vv x-6=0` | |
`x` | `=` | `4 vv x=6` |
`x^2` | `=` | `5x + 14` |
|
`x^2 - 5x - 14` | `=` | `0` |
|
`(x-7)(x+2)` | `=` | `0` |
|
`x` | `=` | `7 vv x = text(-)2` |
`2x^2 ` | `=` | ` 7x` | |
`2x^2-7x` | `=` | `0` | |
`x^2-3,5x` | `=` | `0` | |
`x(x-3,5)` | `=` | `0` | |
`x` | `=` | `0 vv x-3,5=0` | |
`x` | `=` | `0 vv x=3,5` |
Stel het ene getal is `x` , dan is het andere getal `x-17` of `x+17` .
Het product is `168` .
Dus je krijgt de vergelijking: `x(x-17) = 168` of `x(x+17) = 168` .
`x(x-17)` | `=` | `168` | |
`x^2-17x-168` | `=` | `0` | |
`(x+7)(x-24)` | `=` | `0` | |
`x+7` | `=` | `0 vv x-24 = 0` | |
`x` | `=` | ` text(-)7 vv x = 24` |
Dus krijg je twee oplossingen: `24` en `7` en `text(-)7` en `text(-)24` .
Ga na, dat de andere vergelijking uiteindelijk hetzelfde oplevert.
`2x^2 - 10x = 12`
geeft
`2x^2 - 10x - 12 = 0`
en
`x^2 - 5x - 6 = 0`
.
Ontbinden:
`(x+1)(x-6) = 0`
en daarom:
`x = text(-)1 vv x = 6`
.
`x(x + 4) = 2x + 8`
geeft
`x^2 + 2x - 8 = 0`
.
Ontbinden:
`(x+4)(x-2) = 0`
en
`x = text(-)4 vv x = 2`
.
Er is al een ontbinding, dus `2x+1=0 vv x+6=0` en `x = text(-)6 vv x = text(-)0,5` .
`(2x + 1)(x + 6) = 6`
geeft
`2x^2 + 13x = 0`
.
Ontbinden:
`x(2x+13) = 0`
en dus
`x = text(-)6,5 vv x = 0`
.
`(2x + 1)(x + 6) = 13x` geeft `2x^2 + 6 = 0` en dus `x^2 = text(-)3` .
Er zijn dus geen reële oplossingen, want je kunt de wortel uit een negatief getal niet trekken.
Je moet oplossen:
`text(-) 0,01x^2 + 2x` | `=` | `0` | |
`x^2-200x` | `=` | `0` | |
`x(x-200)` | `=` | `0` | |
`x` | `=` | `0 vv x-200=0` | |
`x` | `=` | `0 vv x = 200` |
De snijpunten met de `x` -as zijn: `(0, 0)` en `(200, 0)`
`(100, 100)`
`text(-)0,01x^2 + 2x ` | `=` | ` 19` | |
`x^2-200x` | `=` | ` text(-)1900` | |
`x^2-200x+1900` | `=` | `0` | |
`(x-10)(x-190)` | `=` | `0` | |
`x-10` | `=` | `0 vv x-190=0` | |
`x` | `=` | `10 vv x=190` |
Precies één, omdat de lijn `y = 100` door de top `(100, 100)` gaat.
Vul in de formule in. Je vindt .
De bal wordt op cm hoogte geraakt.
`text(-)0,01x^2 + 0,19x + 0,42 = 0`
geeft
`text(-)0,01(x^2 - 19x - 42) = 0`
en
`text(-)0,01(x+2)(x-21) = 0`
.
Je vindt voor de nulpunten:
`x = text(-)2 vv x=21`
.
De snijpunten met de `x` -as zijn en .
De bal komt na m weer op de grond.
De nulpunten zijn `x = text(-)2 vv x = 21` .
De symmetrieas is daarom .
De top van de parabool is .
De coördinaten van de nulpunten zijn
`M(0, 0)`
en
`N(d, 0)`
.
De algemene formule voor een parabool nulpunten op
`(m, 0)`
en
`(n, 0)`
is:
`y = a(x-m)(x-n)`
.
In de situatie van de brug geldt
`m = 0`
en
`n = d`
.
Vul dit in de algemene formule in. Voor de brug geldt:
`y = a(x-0)(x-d) = ax(x-d)`
.
`a` is nog niet bekend. Je moet een `a` vinden zodat punt `T(d/2, h)` past in de functie.
Omdat de draagconstructie de vorm heeft van een bergparabool, moet `a` een negatief getal zijn.
Versie 1:
Bij a heb je gevonden dat
`y = ax(x-d)`
.
`d = 160`
invullen:
`y = ax(x-160)`
.
Volgens b moet je
`a`
berekenen zodat
`T(d/2, h) = T(80, 28)`
voldoet aan de formule.
Dit invullen geeft
`28 = a*80*(80-160)`
, zodat
`6400a = text(-)28`
en
`a = text(-)4,375*10^(text(-)3)`
.
De eerste formule wordt dan:
`y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x(x-160)`
.
Versie 2:
De algemene formule wordt:
`y = a(x-p)^2+q`
.
De coördinaten van de top zijn
`T = (d/2, h) = (80, 28)`
.
Dit invullen geeft
`y = a(x-80)^2+28`
.
Het punt
`M(0, 0)`
moet passen in de functie.
Dit invullen geeft
`0 = a*(text(-)80)^2+28`
en dus
`a = (text(-)28)/((text(-)80)^2) = text(-)4,375*10^(text(-)3)`
.
De tweede formule wordt dan:
`y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x(x-160)`
.
Versie 3:
De vorm
`y = ax^2+bx+c`
kun je vinden door de haakjes weg te werken bij één van de voorgaande vormen. Bijvoorbeeld:
`y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x(x-160)`
`y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x^2-4,375*10^(text(-)3)*text(-)160x`
`y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x^2+0,7x`
.
De derde formule wordt dan:
`y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x^2+0,7x`
.
Als Karel Carlijn inhaalt geldt `∆s = 0` . De formule wordt dan: `t^2-15t-250 = 0` .
Deze kun je ontbinden in factoren met behulp van de somproductmethode. Je zoekt dan waarden van `m` en `n` zodat `(t+m)(t+n) = 0` .
Hierin moet gelden: `m * n = text(-)250` en `m + n = text(-)15` .
`m` | `n` | `m*n` | `m+n` |
`1` | `text(-)250` | `text(-)250` | `text(-)249` |
`text(-)1` | `250` | `text(-)250` | `249` |
`2` | `text(-)125` | `text(-)250` | `text(-)123` |
`text(-)2` | `125` | `text(-)250` | `123` |
`5` | `text(-)50` | `text(-)250` | `text(-)45` |
`text(-)5` | `50` | `text(-)250` | `45` |
`10` | `text(-)25` | `text(-)250` | `text(-)15` |
`text(-)10` | `25` | `text(-)250` | `15` |
Voor
`m=text(-)10`
en
`n=25`
kloppen het product en de som allebei.
Je krijgt dus
`(t+10)(t-25) = 0`
.
Dit kan alleen als:
`t = text(-)10 vv t = 25`
.
`t = text(-)10`
heeft hier geen betekenis omdat Karel toen nog niet aan het rijden was.
Karel haalt Carlijn dus na
`25`
s in.
`x = 0 vv x = 16`
`x = 17 vv x = text(-)1`
`x = 5 vv x = 11`
`x^2=text(-)12`
Er zijn dus geen reële oplossingen want je kunt niet worteltrekken uit een negatief getal.
De snijpunten met de `x` -as zijn `(0, 0)` en `(100, 0)` .
`(50, 100)`
`x = 10 vv x = 90` .