Kwadratische functies > Ontbinden in factoren
12345Ontbinden in factoren

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

De algemene formule voor een parabool met top `(p, q)` is: `y = a(x-p)^2+q` .
In de situatie van de brug geldt `p = d/2` en `q = h` .
Vul dit in de algemene formule in.
Voor de brug geldt: `y = a(x-d/2)^2+h` .

b

`a` is nog niet bekend. Je moet een `a` vinden zodat de functie door de oorsprong gaat, en ook het punt `(d, 0)` bij de functie hoort.

Opgave 1
a

Een `x` buiten haakjes halen geeft: `x(x + 6) = 0` .
Dit betekent: `x = 0 vv x + 6 = 0` .
Oplossing: `x = text(-)6 vv x = 0` .

b

Een `x` buiten haakjes halen geeft: `x(x - 13) = 0` .
Dit betekent: `x = 0 vv x - 13 = 0` .
Oplossing: `x = 0 vv x = 13` .

c

Dit wordt: `x^2 - 3x = 0`

Een `x` buiten haakjes halen geeft: `x(x - 3) = 0` .
Dit betekent: `x = 0 vv x - 3 = 0` .
Oplossing: `x = 0 vv x = 3` .

d

Een `x` buiten haakjes halen geeft: `x(5 - x) = 0` .
Dit betekent: `x = 0 vv 5 - x = 0` .
Oplossing: `x = 0 vv x = 5` .

Opgave 2
a

`x = 0 vv x = 2,5`

b

`x = text(-)8/3 vv x = 0`

c

`x = 0 vv x = 100`

d

`x = 0 vv x = 7`

Opgave 3
a

`(x + 3)(x + 2) = x^2 + 5x + 6`

b

`5 = 3 + 2` en `6 = 3 * 2`

c

Zie de tabel.

product `6`
`1` `6`
`text(-)1` `text(-)6`
`2` `3`
`text(-)2` `text(-)3`
d

Je zoekt uit de lijst die je bij c hebt gemaakt de twee getallen die ook nog samen opgeteld `5` opleveren. Dat zijn `2` en `3` .

e
product `18`
`1` `18`
`text(-)1` `text(-)18`
`2` `9`
`text(-)2` `text(-)9`
`3` `6`
`text(-)3` `text(-)6`

Zoek nu de twee getallen die als som `9` hebben. Dat zijn `3` en `6` .

Je krijgt: `x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6)` .

f

`x^2 + 9x + 18 = (x + 3)(x + 6) = 0`

Dit geeft: `x+3=0 vv x+6=0`

`x = text(-)3 vv x = text(-)6`

Opgave 4
a
`x^2+6x+5` `=` `0`
`(x+1)(x+5)` `=` `0`
`x+1` `=` `0 vv x+5=0`
`x` `=` `text(-)1 vv x=text(-)5`
b
`x^2+19x+84` `=` `0`
`(x+7)(x+12)` `=` `0`
`x+7` `=` `0 vv x+12=0`
`x` `=` ` text(-)7 vv x= text(-)12`
c
`x^2+7x+12` `=` `0`
`(x+3)(x+4)` `=` `0`
`x+3` `=` `0 vv x+4=0`
`x` `=` ` text(-)3 vv x= text(-)4`
d
`x^2+7x+10` `=` `0`
`(x+2)(x+5)` `=` `0`
`x+2` `=` `0 vv x+5=0`
`x` `=` ` text(-)2 vv x= text(-)5`
Opgave 5
a
product `6`
`1` `6`
`text(-)1` `text(-)6`
`2` `3`
`text(-)2` `text(-)3`
`x^2-5x+6` `=` `0`
`(x-2)(x-3)` `=` `0`
`x-2` `=` `0 vv x-3=0`
`x` `=` `2 vv x=3`
b
`x^2+5x-6` `=` `0`
`(x-1)(x+6)` `=` `0`
`x-1` `=` `0 vv x+6=0`
`x` `=` `1 vv x= text(-)6`
c
`x^2-5x-6` `=` `0`
`(x+1)(x-6)` `=` `0`
`x+1` `=` `0 vv x-6=0`
`x` `=` ` text(-)1 vv x=6`
d
`x^2-6x+5` `=` `0`
`(x-1)(x-5)` `=` `0`
`x-1` `=` `0 vv x-5=0`
`x` `=` `1 vv x=5`
Opgave 6
a

Alle termen aan de linkerzijde van het isgelijkteken bevatten een factor `x` en rechts staat dat er `0` uit moet komen.

b

`3x^2+8x=0`

Haal de factor `x` buiten de haakjes: `x(3x + 8) = 0`

Dit geeft: `x = 0 vv 3x + 8 = 0`

Dit geeft: `x = 0 vv 3x = text(-)8`

Dit geeft: `x = 0 vv x = text(-)8/3`

Opgave 7
a

`2x^2 - 13x = 0`

Factor `x` buiten haakjes halen geeft: `x(2x - 13) = 0`

`x` `=` `0 vv 2x-13=0`
`x` `=` `0 vv 2x=13`
`x` `=` `0 vv x=6,5`
b
`3x^2 ` `=` ` 71x`
`3x^2-71x` `=` `0`
`x(3x-71)` `=` `0`
`x` `=` `0 vv 3x-71=0`
`x` `=` `0 vv 3x=71`
`x` `=` `0 vv x=71/3`
c

`x(x - 3) = 2x` geeft `x^2 - 3x = 2x` en dus `x^2 - 5x = 0` .
Factor buiten haakjes halen: `x(x - 5) = 0` .
Splitsen: `x = 0 vv x - 5 = 0` , dus `x = 0 vv x = 5` .

d

Direct worteltrekken: `x = text(-)9 vv x = 9` .

Opgave 8
a

Omdat er voor het product maar een beperkt aantal mogelijkheden is. Voor de som kunnen er steeds oneindig veel combinaties worden gemaakt.

b

Voor het product `text(-)5` zijn er maar twee mogelijkheden met gehele getallen: `text(-)1` en `5` of `1` en `text(-)5` .

c

Nee, een tabel met getallen die als product `text(-)6` hebben levert geen combinatie op waarbij de som `text(-)4` is.

Opgave 9
a
product `8`
`1` `8`
`text(-)1` `text(-)8`
`2` `4`
`text(-)2` `text(-)4`
`x^2 + 6x + 8 ` `=` ` 0`
`(x+2)(x+4)` `=` `0`
`x+2` `=` `0 vv x+4=0`
`x` `=` ` text(-)2 vv x= text(-)4`
b
`x^2 + 3x ` `=` ` 18`
`x^2+3x-18` `=` `0`
`(x-3)(x+6)` `=` `0`
`x-3` `=` `0 vv x+6=0`
`x` `=` `3 vv x= text(-)6`
c
`x^2 + 15 ` `=` ` 8x`
`x^2-8x+15` `=` `0`
`(x-3)(x-5)` `=` `0`
`x-3` `=` `0 vv x-5=0`
`x` `=` `3 vv x=5`
d

Bedenk dat er staat: `x^2+0x-16=0`

`(x+4)(x-4)` `=` `0`
`x+4` `=` `0 vv x-4=0`
`x` `=` ` text(-)4 vv x=4`

In dit geval is het sneller om te kiezen voor:

`x^2` `=` `16`
`x` `=` `±sqrt(16)=±4`
`x` `=` `text(-)4 vv x=4`
Opgave 10
a

De totale lengte van het hekwerk is `100` m en daar gaan twee breedtes van `b` van af.

b

De kwadratische functie is `A = text(-)2b^2 + 100b` , dus het getal voor `b^2` is negatief. Daarom is de grafiek een bergparabool.

c

In het voorbeeld vind je de uitwerking wel.

Opgave 11
a
`x^2 - 27x` `=` `0`

`x(x - 27)` `=` ``

`x` `=` `0 vv x=27`
b
`x^2 + 18x + 80 ` `=` ` 0`
`(x+8)(x+10)` `=` `0`
`x+8` `=` `0 vv x+10=0`
`x` `=` ` text(-)8 vv x= text(-)10`
c
`x^2 + 3x ` `=` ` 10`
`x^2+3x-10` `=` `0`
`(x+5)(x-2)` `=` `0`
`x+5` `=` `0 vv x-2=0`
`x` `=` ` text(-)5 vv x=2`
d
`x^2 - 10x + 24 ` `=` ` 0`
`(x-4)(x-6)` `=` `0`
`x-4` `=` `0 vv x-6=0`
`x` `=` `4 vv x=6`
e
`x^2` `=` `5x + 14`

`x^2 - 5x - 14` `=` `0`

`(x-7)(x+2)` `=` `0`

`x` `=` `7 vv x = text(-)2`
f
`2x^2 ` `=` ` 7x`
`2x^2-7x` `=` `0`
`x^2-3,5x` `=` `0`
`x(x-3,5)` `=` `0`
`x` `=` `0 vv x-3,5=0`
`x` `=` `0 vv x=3,5`
Opgave 12

Stel het ene getal is `x` , dan is het andere getal `x-17` of `x+17` .

Het product is `168` .

Dus je krijgt de vergelijking: `x(x-17) = 168` of `x(x+17) = 168` .

`x(x-17)` `=` `168`
`x^2-17x-168` `=` `0`
`(x+7)(x-24)` `=` `0`
`x+7` `=` `0 vv x-24 = 0`
`x` `=` ` text(-)7 vv x = 24`

Dus krijg je twee oplossingen: `24` en `7` en `text(-)7` en `text(-)24` .

Ga na, dat de andere vergelijking uiteindelijk hetzelfde oplevert.

Opgave 13
a

`2x^2 - 10x = 12` geeft `2x^2 - 10x - 12 = 0` en `x^2 - 5x - 6 = 0` .
Ontbinden: `(x+1)(x-6) = 0` en daarom: `x = text(-)1 vv x = 6` .

b

`x(x + 4) = 2x + 8` geeft `x^2 + 2x - 8 = 0` .
Ontbinden: `(x+4)(x-2) = 0` en `x = text(-)4 vv x = 2` .

c

Er is al een ontbinding, dus `2x+1=0 vv x+6=0` en `x = text(-)6 vv x = text(-)0,5` .

d

`(2x + 1)(x + 6) = 6` geeft `2x^2 + 13x = 0` .
Ontbinden: `x(2x+13) = 0` en dus `x = text(-)6,5 vv x = 0` .

e

`(2x + 1)(x + 6) = 13x` geeft `2x^2 + 6 = 0` en dus `x^2 = text(-)3` .

Er zijn dus geen reële oplossingen, want je kunt de wortel uit een negatief getal niet trekken.

Opgave 14
a

Je moet oplossen:

`text(-) 0,01x^2 + 2x` `=` `0`
`x^2-200x` `=` `0`
`x(x-200)` `=` `0`
`x` `=` `0 vv x-200=0`
`x` `=` `0 vv x = 200`

De snijpunten met de `x` -as zijn: `(0, 0)` en `(200, 0)`

b

`(100, 100)`

c
`text(-)0,01x^2 + 2x ` `=` ` 19`
`x^2-200x` `=` ` text(-)1900`
`x^2-200x+1900` `=` `0`
`(x-10)(x-190)` `=` `0`
`x-10` `=` `0 vv x-190=0`
`x` `=` `10 vv x=190`
d

Precies één, omdat de lijn `y = 100` door de top `(100, 100)` gaat.

Opgave 15
a

Vul x = 0 in de formule in. Je vindt h = 0,42 .

De bal wordt op 42 cm hoogte geraakt.

b

`text(-)0,01x^2 + 0,19x + 0,42 = 0` geeft `text(-)0,01(x^2 - 19x - 42) = 0` en `text(-)0,01(x+2)(x-21) = 0` .
Je vindt voor de nulpunten: `x = text(-)2 vv x=21` .

De snijpunten met de `x` -as zijn ( - 2 , 0 ) en ( 21 , 0 ) .

De bal komt na 21 m weer op de grond.

c

De nulpunten zijn `x = text(-)2 vv x = 21` .

De symmetrieas is daarom x = 9,5 .

De top van de parabool is ( 9,5 ; 1,3225 ) .

Opgave A1Op naar de top
Op naar de top
a

De coördinaten van de nulpunten zijn `M(0, 0)` en `N(d, 0)` .
De algemene formule voor een parabool nulpunten op `(m, 0)` en `(n, 0)` is: `y = a(x-m)(x-n)` .
In de situatie van de brug geldt `m = 0` en `n = d` .
Vul dit in de algemene formule in. Voor de brug geldt: `y = a(x-0)(x-d) = ax(x-d)` .

b

`a` is nog niet bekend. Je moet een `a` vinden zodat punt `T(d/2, h)` past in de functie.

c

Omdat de draagconstructie de vorm heeft van een bergparabool, moet `a` een negatief getal zijn.

d

Versie 1:
Bij a heb je gevonden dat `y = ax(x-d)` .
`d = 160` invullen: `y = ax(x-160)` .
Volgens b moet je `a` berekenen zodat `T(d/2, h) = T(80, 28)` voldoet aan de formule.
Dit invullen geeft `28 = a*80*(80-160)` , zodat `6400a = text(-)28` en `a = text(-)4,375*10^(text(-)3)` .
De eerste formule wordt dan: `y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x(x-160)` .

Versie 2:
De algemene formule wordt: `y = a(x-p)^2+q` .
De coördinaten van de top zijn `T = (d/2, h) = (80, 28)` .
Dit invullen geeft `y = a(x-80)^2+28` .
Het punt `M(0, 0)` moet passen in de functie.
Dit invullen geeft `0 = a*(text(-)80)^2+28` en dus `a = (text(-)28)/((text(-)80)^2) = text(-)4,375*10^(text(-)3)` .
De tweede formule wordt dan: `y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x(x-160)` .

Versie 3:
De vorm `y = ax^2+bx+c` kun je vinden door de haakjes weg te werken bij één van de voorgaande vormen. Bijvoorbeeld:
`y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x(x-160)`
`y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x^2-4,375*10^(text(-)3)*text(-)160x`
`y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x^2+0,7x` .
De derde formule wordt dan: `y = text(-)4,375*10^(text(-)3)*x^2+0,7x` .

Opgave A2Inhaalactie
Inhaalactie

Als Karel Carlijn inhaalt geldt `∆s = 0` . De formule wordt dan: `t^2-15t-250 = 0` .

Deze kun je ontbinden in factoren met behulp van de somproductmethode. Je zoekt dan waarden van `m` en `n` zodat `(t+m)(t+n) = 0` .

Hierin moet gelden: `m * n = text(-)250` en `m + n = text(-)15` .

`m` `n` `m*n` `m+n`
`1` `text(-)250` `text(-)250` `text(-)249`
`text(-)1` `250` `text(-)250` `249`
`2` `text(-)125` `text(-)250` `text(-)123`
`text(-)2` `125` `text(-)250` `123`
`5` `text(-)50` `text(-)250` `text(-)45`
`text(-)5` `50` `text(-)250` `45`
`10` `text(-)25` `text(-)250` `text(-)15`
`text(-)10` `25` `text(-)250` `15`

Voor `m=text(-)10` en `n=25` kloppen het product en de som allebei.
Je krijgt dus `(t+10)(t-25) = 0` .
Dit kan alleen als: `t = text(-)10 vv t = 25` .
`t = text(-)10` heeft hier geen betekenis omdat Karel toen nog niet aan het rijden was.
Karel haalt Carlijn dus na `25` s in.

Opgave T1
a

`x = 0 vv x = 16`

b

`x = 17 vv x = text(-)1`

c

`x = 5 vv x = 11`

d

`x^2=text(-)12`

Er zijn dus geen reële oplossingen want je kunt niet worteltrekken uit een negatief getal.

Opgave T2
a

De snijpunten met de `x` -as zijn `(0, 0)` en `(100, 0)` .

b

`(50, 100)`

c

`x = 10 vv x = 90` .

verder | terug