Kwadratische functies > De abc-formule
12345De abc-formule

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

x 2 + 6 x + 8 = ( x + 2 ) ( x + 4 ) = 0 geeft x = - 2 x = - 4 .

Opgave V2

Dat kun je (waarschijnlijk) niet. In deze paragraaf ga je leren hoe dit kan: je leert de abc-formule te gebruiken.

Opgave 1
a

Doen.

b

Ja, ze komen overeen.

c

x - 1,586 x - 4,414

d

Lees af: a = 1 , b = 6 en c = 8 .

Oplossing: x = - 6 ± 6 2 - 4 1 8 2 1 = - 6 ± 4 2 .

Dit kun je herleiden tot x = - 6 ± 2 2 en dat betekent x = - 2 x = - 4 . Nu zie je dat beide oplossingen overeen komen.

e

Omdat als a = 0 het kwadraat wegvalt en er dus geen kwadratische vergelijking, maar een lineaire vergelijking overblijft.

f

Je schrijft de vergelijking eerst als 2 x 2 - 6 x + 4 = 0 .

Lees af: a = 2 , b = - 6 en c = 4 .

Oplossing: x = 6 ± ( - 6 ) 2 - 4 2 4 2 2 = 6 ± 4 4 .

Omdat nu de wortel uitkomt vind je x = 6 + 2 4 = 2 x = 6 - 2 4 = 1 .

Opgave 2
a

Lees af: a = 1 , b = 12 en c = 4 .

Oplossing: x = - 12 ± 12 2 - 4 1 4 2 1 = 12 ± 128 2 .

Dit kun je herleiden tot x = - 12 ± 128 2 = - 12 ± 8 2 2 = - 6 ± 4 2 .

b

Lees af: a = 2 , b = 5 en c = - 10 .

Oplossing: x = - 5 ± 5 2 - 4 2 - 10 2 2 = - 5 ± 105 4 .

Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.

c

Schrijf de vergelijking eerst als x 2 - 5 x - 7 = 0 .

Lees af: a = 1 , b = - 5 en c = - 7 .

Oplossing: x = 5 ± ( - 5 ) 2 - 4 1 - 7 2 1 = 5 ± 53 2 .

Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.

d

Schrijf de vergelijking eerst als 9 x 2 + 10 x - 17 = 0 .

Lees af: a = 9 , b = 10 en c = - 17 .

Oplossing: x = - 10 ± 10 2 - 4 9 - 17 2 9 = - 10 ± 712 18 .

Dit hoef je niet verder te herleiden.

e

Je schrijft de vergelijking eerst als 2 x 2 + 12 x + 16 = 0 . (Eventueel deel je ook nog beide zijden door 2.)

Lees af: a = 2 , b = 12 en c = 16 .

Oplossing: x = - 12 ± 12 2 - 4 2 16 2 2 = - 12 ± 4 4 .

Omdat nu de wortel uitkomt vind je x = - 4 x = - 2 .

f

Lees af: a = 3 , b = 8 en c = - 3 .

Oplossing: x = - 8 ± 8 2 - 4 3 - 3 2 3 = - 8 ± 100 6 .

Omdat nu de wortel uitkomt vind je x = - 8 + 10 6 = 1 3 x = - 8 - 10 6 = - 3 .

Opgave 3
a

Lees af: a = 2 , b = - 6 en c = - 1 .

En dus is D = b 2 - 4 a c = ( - 6 ) 2 - 4 2 - 1 = 44 .

b

De oplossing is x = 6 ± 44 4 .

d

De oplossing is x 3,2 x - 0,2 .

e

Lees af: a = 2 , b = - 6 en c = 4,5 .

En dus is D = ( - 6 ) 2 - 4 2 4,5 = 0 . De uitdrukking onder de wortel valt daarom weg.

De oplossing is x = 6 ± 0 4 = 1,5 .

f

Lees af: a = 2 , b = - 6 en c = 6 .

En dus is D = ( - 6 ) 2 - 4 2 6 = - 12 . De discriminant is negatief en de wortel uit een negatief getal heeft geen reële uitkomst.

Opgave 4
a

Lees af: a = 2 , b = 5 en c = - 20 .

En dus is D = 5 2 - 4 2 - 20 = 185 .

De oplossing is x = - 5 ± 185 4 .

b

Schrijf de vergelijking als 3 x 2 - 9 x + 11 = 0 .

Lees af: a = 3 , b = - 9 en c = 11 .

En dus is D = ( - 9 ) 2 - 4 3 11 = - 51 < 0 .

Geen reële oplossing.

c

Schrijf de vergelijking als 3 x 2 - 4 x + 1 = 0 .

Lees af: a = 3 , b = - 4 en c = 1 .

En dus is D = ( - 4 ) 2 - 4 3 1 = 4 > 0 .

De oplossing is x = 4 ± 4 6 en dat geeft x = 1 x = 1 3 .

d

Lees af: a = 4 , b = - 20 en c = 25 .

En dus is D = ( - 20 ) 2 - 4 4 25 = 0 .

De oplossing is x = 20 8 = 2,5 .

Opgave 5
a

Omdat je de vergelijking in de vorm a x 2 + b x + c = 0 moet brengen om de abc-formule te kunnen toepassen.

b

Doen.

c

Het kwadraat van - 5 is - 5 - 5 = 25 en niet - 5 2 = - 5 5 .

d

x = 5 + 13 2 4,30 x = 5 - 13 2 0,70

Opgave 6
a

`3x^2 + 4 = 7` geeft `x^2 = 1` en dus `x = +-1` .

b

`(x+1)(2x-1) = 4` geeft `2x^2 + x - 5 = 0` .
Met de abc-formule `x = (text(-)1 +- sqrt(41))/4` .

c

`4x = x^2 + 7` geeft `x^2 - 4x + 7 = 0` .
Met de abc-formule vind je geen antwoord, want de discriminant is negatief.

d

`(x+3)^2=4` geeft `x+3 = +-2` en dus `x = text(-)5 vv x = text(-)1` .

e

`(2x+4)^2 = 32x` geeft `4x^2 - 16x + 16 = 0` en dus `x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0` zodat `x=2` .

f

`(2x+4)^2 = 32` geeft `2x+4 = +-sqrt(32)` en dus `x = (text(-)4 +- sqrt(32))/2 = text(-)2 +- 2sqrt(2)` .

Opgave 7

Noem de lengte `x` cm, dan is de breedte `x-3,10` cm.
De oppervlakte is `x(x-3,10) = 23,6` cm2.
Deze vergelijking los je na op `0` herleiden op met de abc-formule.
`x^2 - 3,10x - 23,6 = 0` geeft `x ~~ text(-)3,55 vv x ~~ 6,65` .
De gevraagde afmetingen zijn `6,65 xx 3,55` cm.

Opgave 8
a

x 2 + 6 x + 5 = ( x + 5 ) ( x + 1 ) = 0 levert de juiste x-waarden op.

b

Je kunt in de figuur zien dat er twee snijpunten zijn.

c

Bijvoorbeeld door invullen in y 2 = 2 x - 4 . Bij x = - 5 krijg je dan y = 2 - 5 - 4 = - 14 en bij x = - 1 krijg je dan y = 2 - 1 - 4 = - 6 .

d

Nee, beide formules moeten dezelfde bijbehorende y-waarden opleveren.

Opgave 9
a

Eerst x 2 + 3 x + 1 = - x - 2 op 0 herleiden tot x 2 + 4 x + 3 = 0 .

Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft x = - 3 x = - 1 .

De snijpunten zijn ( - 3 , 1 ) en ( - 1 , - 1 ) .

b

Eerst x 2 - x - 6 = 2 x + 4 op 0 herleiden tot x 2 - 3 x - 10 = 0 .

Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft x = - 2 x = 5 .

De snijpunten zijn ( - 2,0 ) en ( 5,14 ) .

c

Je moet nu x 2 = 2 oplossen.

Zo'n eenvoudige vergelijking doe je niet met de abc-formule. Je vindt x = ± 2 .

De snijpunten zijn ( - 2 , 2 ) en ( 2 , 2 ) .

Opgave 10
a

( x + 1 ) 2 = 4 - x 2

b

Eerst x 2 + 2 x + 1 = 4 - x 2 op 0 herleiden tot 2 x 2 + 2 x - 3 = 0 .

De discriminant is D = 2 2 - 4 2 - 3 = 28 en dat is een positief getal maar geen kwadraat.

c

Met de abc-formule vind je x = - 2 ± 28 4 , dus x - 1,823 x 0,823 .

De snijpunten zijn (op twee decimalen nauwkeurig) ( - 1,82 ; 0,68 ) en ( 0,82 ; 3,32 ) .

Opgave 11
a

Oplossing: x = - 5 ± 21 2 .

b

Oplossing: x = 3 ± 25 4 dus x = 2 x = - 0,5 .

c

Eerst op 0 herleiden: - 5 x 2 - 7 x - 1 = 0 .
Oplossing: x = 7 ± 29 - 10 .

d

Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleiden: 2 x 2 + 3 x - 3 = 0 .
Oplossing: x = - 3 ± 33 4 .

e

Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleiden: 2 x 2 = 0 .
Oplossing: x = 0 .

f

Nu kun je meteen splitsen: x = 0 2 x + 3 = 0 .
Oplossing: x = 0 x = - 1,5 .

g

Eerst haakjes uitwerken en op 0 herleiden: x 2 - 2 x - 17 = 0 .
Oplossing: x = 2 ± 72 2 = 1 ± 3 2 .

h

Nu kun je meteen splitsen: x + 3 = 0 x - 5 = 0 .
Oplossing: x = - 3 x = 5 .

i

Nu kun je meteen worteltrekken: 2 x + 5 = ± 5 .
Oplossing: x = - 5 ± 5 2 .

Opgave 12
a

D = 5 2 - 4 2 - 1 = 33 , dus twee oplossingen.

b

Eerst op 0 herleiden: 5 x 2 - x - 1 = 0 .
D = ( - 1 ) 2 - 4 5 - 1 = 21 , dus twee oplossingen.

c

Eerst op 0 herleiden: - 2 x 2 + 6 x - 18 = 0 .
D = 6 2 - 4 - 2 - 18 = - 108 , dus geen reële oplossingen.

d

Hier kun je meteen worteltrekken: 1 - 2 x = ± 12 .
Er zijn dus twee oplossingen.

e

Als je dit schrijft als ( x - 1 ) 2 = - 4 zie je meteen dat er geen reële oplossingen zijn: een kwadraat kan niet negatief zijn.

Opgave 13
a

Er zijn twee snijpunten met gehele coördinaten. Dus is `D gt 0` en een kwadraat.

b

Er zijn twee snijpunten, maar niet met gehele coördinaten. Dus is `D gt 0` , maar geen kwadraat.

c

Er zijn geen snijpunten. Dus is `D lt 0` en dus geen kwadraat.

d

Er zijn twee nulpunten met gehele coördinaten. Dus is `D gt 0` en een kwadraat.

e

Er zijn geen nulpunten. Dus is `D lt 0` en dus geen kwadraat.

f

Er is één snijpunt met gehele coördinaten. Dus is D = 0 en dat is een kwadraat.

Opgave 14
a

- 2 x 2 + 8 x = 2 x - 36 geeft x 2 - 3 x - 18 = 0 en dus x = - 3 x = 6 . De snijpunten zijn ( - 3 , - 42 ) en ( 6 , - 24 ) .

b

( x - 10 ) 2 - 50 = 10 - 5 x geeft x 2 - 15 x + 40 = 0 en dus x = 15 ± 65 2 . De snijpunten zijn ( 3,5 ; - 7,3 ) en ( 11,5 ; - 47,7 ) .

Opgave 15

Los op: `pi d*0,82 + 0,5pi d^2 = 2,0` .
Op `0` herleiden en de abc-formule: `d^2 + 1,64d - 4/(pi) = 0` geeft `d ~~ text(-)2,214 vv d ~~ 0,574` .
De gevraagde diameter is ongeveer `57,4` cm.

Opgave 16

Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.

Opgave A1

Oppervlakte zwembad: `x*3x = 3x^2` .

Oppervlakte zwembad met tegels: `(x+3)(3x+2)` .

De oppervlakte van zwembad met tegels is `1,5` keer zo groot als het zwembad zonder tegels.

Dus je krijgt de vergelijking: `4,5x^2 = (x+3)(3x+2)` .

Haakjes wegwerken geeft `1,5x^2-11x-6 = 0` .

Met de abc-formule: `x = (11±sqrt(157))/3` , dus `x~~7,84 vv x~~-0,51` .

Alleen de eerste oplossing voldoet.

De afmetingen van het zwembad zijn dus `7,84` m bij `23,52` m.

Opgave A2
a

`A = (28 + x)(24 + x)`

b

De oppervlakte van de foto zonder lijst is `x*x = x^2` .

De oppervlakte van de foto met lijst is twee keer zo groot als de oppervlakte van de foto zonder lijst.

Dus je krijgt de vergelijking: `(28+x)(24+x) = 2x^2` .

Oplossen doe je door haakjes wegwerken en daarna de abc-formule.

Je vindt: `x ~~ 62,7` cm.

Opgave A3

Noem de breedte `x` , dan is voor elk tennisveld een lengte van `24+2x` en een breedte van `11+2x` nodig.

Dus de oppervlakte nodig voor een tennisveld is: `A = (24+2x)(11+2x) = 960` m2.

Oplossen door haakjes wegwerken, op `0` herleiden en de abc-formule geeft: `x = 7 vv x = text(-)24,5` .

De looprand wordt overal `7` m breed.

Opgave T1
a

`x = 0 vv x = 16/3`

b

`x = (8+-sqrt(132))/2`

c

`x = 1,5 vv x = 3`

d

`x = +- sqrt(8)`

e

`x=0 vv x=text(-)9,5`

Opgave T2
a

Na `102,0` m.

b

`108` m.

c

Tussen `28,8` en `71,2` m.

verder | terug