Als Karel Carlijn inhaalt geldt `∆s=0` . De formule wordt dan: `t^2-15t-220=0` .
Je kunt proberen om ontbinden in factoren met behulp van de somproductmethode toe te passen. Je zoekt dan waarden van `m` en `n` zodat `(t+m)(t+n)=0` .
Hierin moet gelden: `m * n = text(-)220` en `m + n = text(-)15` .
`m` | `n` | `m*n` | `m+n` |
`1` | `text(-)220` | `text(-)220` | `text(-)219` |
`text(-)1` | `220` | `text(-)220` | `219` |
`2` | `text(-)110` | `text(-)220` | `text(-)108` |
`text(-)2` | `110` | `text(-)220` | `108` |
`4` | `text(-)55` | `text(-)220` | `text(-)51` |
`text(-)4` | `55` | `text(-)220` | `51` |
`5` | `text(-)44` | `text(-)220` | `text(-)39` |
`text(-)5` | `44` | `text(-)220` | `39` |
`10` | `text(-)22` | `text(-)220` | `text(-)12` |
`text(-)10` | `22` | `text(-)220` | `12` |
`11` | `text(-)20` | `text(-)220` | `text(-)9` |
`text(-)11` | `20` | `text(-)220` | `9` |
Er is op deze manier geen combinatie van hele getallen `m` en `n` te vinden waarvoor de som én het product kloppen. Met de somproductmethode kun je het antwoord op de vraag niet vinden.
Doen.
Ja, ze komen overeen.
Lees af: , en .
Oplossing: .
Dit kun je herleiden tot en dat betekent . Nu zie je dat beide oplossingen overeen komen.
Omdat als het kwadraat wegvalt en er dus geen kwadratische vergelijking, maar een lineaire vergelijking overblijft.
Je schrijft de vergelijking eerst als .
Lees af: , en .
Oplossing: .
Omdat nu de wortel uitkomt vind je .
Lees af: , en .
Oplossing: .
Dit kun je herleiden tot .
Lees af: , en .
Oplossing: .
Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.
Schrijf de vergelijking eerst als .
Lees af: , en .
Oplossing: .
Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.
Schrijf de vergelijking eerst als .
Lees af: , en .
Oplossing: .
Dit hoef je niet verder te herleiden.
Je schrijft de vergelijking eerst als . (Eventueel deel je ook nog beide zijden door .)
Lees af: , en .
Oplossing: .
Omdat nu de wortel uitkomt vind je .
Lees af: , en .
Oplossing: .
Omdat nu de wortel uitkomt vind je .
Lees af: , en .
En dus is .
De oplossing is .
De oplossing is .
Lees af: , en .
En dus is . De uitdrukking onder de wortel valt daarom weg.
De oplossing is .
Lees af: , en .
En dus is . De discriminant is negatief en de wortel uit een negatief getal heeft geen reële uitkomst.
Lees af: , en .
En dus is .
De oplossing is .
Schrijf de vergelijking als .
Lees af: , en .
En dus is .
Geen reële oplossing.
Schrijf de vergelijking als .
Lees af: , en .
En dus is .
De oplossing is en dat geeft .
Lees af: , en .
En dus is .
De oplossing is .
Omdat je de vergelijking in de vorm moet brengen om de abc-formule te kunnen toepassen.
Doen.
Het kwadraat van is en niet .
`3x^2 + 4 = 7` geeft `x^2 = 1` en dus `x = +-1` .
`(x+1)(2x-1) = 4`
geeft
`2x^2 + x - 5 = 0`
.
Met de abc-formule
`x = (text(-)1 +- sqrt(41))/4`
.
`4x = x^2 + 7`
geeft
`x^2 - 4x + 7 = 0`
.
Met de abc-formule vind je geen antwoord, want de discriminant is negatief.
`(x+3)^2=4` geeft `x+3 = +-2` en dus `x = text(-)5 vv x = text(-)1` .
`(2x+4)^2 = 32x` geeft `4x^2 - 16x + 16 = 0` en dus `x^2 - 4x + 4 = (x-2)^2 = 0` zodat `x=2` .
`(2x+4)^2 = 32` geeft `2x+4 = +-sqrt(32)` en dus `x = (text(-)4 +- sqrt(32))/2 = text(-)2 +- 2sqrt(2)` .
Noem de lengte
`x`
cm, dan is de breedte
`x-3,10`
cm.
De oppervlakte is
`x(x-3,10) = 23,6`
cm2.
Deze vergelijking los je na op
`0`
herleiden op met de abc-formule.
`x^2 - 3,10x - 23,6 = 0`
geeft
`x ~~ text(-)3,55 vv x ~~ 6,65`
.
De gevraagde afmetingen zijn
`6,65 xx 3,55`
cm.
levert de juiste -waarden op.
Je kunt in de figuur zien dat er twee snijpunten zijn.
Bijvoorbeeld door invullen in . Bij krijg je dan en bij krijg je dan .
Nee, beide formules moeten dezelfde bijbehorende -waarden opleveren.
Eerst op herleiden tot .
Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft .
De snijpunten zijn en .
Eerst op herleiden tot .
Oplossen met de abc-formule (of de som-en-product-methode) geeft .
De snijpunten zijn en .
Je moet nu oplossen.
Zo'n eenvoudige vergelijking doe je niet met de abc-formule. Je vindt .
De snijpunten zijn en .
Eerst op herleiden tot .
De discriminant is en dat is een positief getal maar geen kwadraat.
Met de abc-formule vind je , dus .
De snijpunten zijn (op twee decimalen nauwkeurig) en .
Oplossing: .
Oplossing: dus .
Eerst op herleiden: .
Oplossing: .
Eerst haakjes uitwerken en op herleiden: .
Oplossing: .
Eerst haakjes uitwerken en op herleiden: .
Oplossing: .
Nu kun je meteen splitsen: .
Oplossing: .
Eerst haakjes uitwerken en op herleiden: .
Oplossing: .
Nu kun je meteen splitsen: .
Oplossing: .
Nu kun je meteen worteltrekken: .
Oplossing: .
, dus twee oplossingen.
Eerst op herleiden: .
, dus twee oplossingen.
Eerst op herleiden: .
, dus geen reële oplossingen.
Hier kun je meteen worteltrekken: .
Er zijn dus twee oplossingen.
Als je dit schrijft als zie je meteen dat er geen reële oplossingen zijn: een kwadraat kan niet negatief zijn.
Er zijn twee snijpunten met gehele coördinaten. Dus is `D gt 0` en een kwadraat.
Er zijn twee snijpunten, maar niet met gehele coördinaten. Dus is `D gt 0` , maar geen kwadraat.
Er zijn geen snijpunten. Dus is `D lt 0` en dus geen kwadraat.
Er zijn twee nulpunten met gehele coördinaten. Dus is `D gt 0` en een kwadraat.
Er zijn geen nulpunten. Dus is `D lt 0` en dus geen kwadraat.
Er is één snijpunt met gehele coördinaten. Dus is en dat is een kwadraat.
geeft en dus . De snijpunten zijn en .
geeft en dus . De snijpunten zijn en .
Los op:
`pi d*0,82 + 0,5pi d^2 = 2,0`
.
Op
`0`
herleiden en de abc-formule:
`d^2 + 1,64d - 4/(pi) = 0`
geeft
`d ~~ text(-)2,214 vv d ~~ 0,574`
.
De gevraagde diameter is ongeveer
`57,4`
cm.
Oefen jezelf met AlgebraKIT. Daarin kun je ook de antwoorden bekijken en uitleg uitklappen.
Als Karel Carlijn inhaalt geldt `∆s = 0` . De formule wordt dan: `t^2-15t-220 = 0` .
Deze kun je ontbinden in factoren. Bij Verkennen heb je al gezien dat de somproductmethode hier niet werkt. Daarom gebruik je de abc-formule.
De vorm van de vergelijking is:
`ax^2+bx+c = 0`
.
Eerst bereken je de discriminant:
`D = b^2-4ac = (text(-)15)^2-4*1*(text(-)220) = 1105`
.
Omdat
`D gt 0`
zijn er twee oplossingen voor de vergelijking:
`t = (15-√1105)/(2*1) ≈ text(-)9,12 vv t = (15+√1105)/(2*1) ≈ 24,12`
.
De negatieve waarde van
`t`
heeft in deze opgave geen betekenis, omdat Karel toen nog niet aan het rijden was.
Karel haalt Carlijn in na ongeveer
`24,12`
s.
Voor het afstandsverschil tussen Karel en Carlijn geldt: `s = 0,75t^2-12,8 t+100` .
Op het moment dat Karel Carlijn (misschien) inhaalt geldt: `0,75t^2-12,8 t+100 = 0` .
Deze vergelijking heeft de vorm `at^2 + bt + c = 0` .
Hierin is `D = b^2-4ac = (text(-)12,8)^2-4*0,75*100 = text(-)136,16` .
Omdat `D lt 0` is er geen oplossing voor de vergelijking. Dat betekent dat Karel Carlijn niet inhaalt.
Voor het afstandsverschil tussen Karel en Carlijn geldt: `s = 0,4t^2-12,8 t+100` .
Karel zit naast Carlijn als `0,4t^2-12,8 t+100 = 0` .
Deze vergelijking heeft de vorm `at^2 + bt + c = 0` .
Hierin is `D = b^2-4ac = (text(-)12,8)^2-4*0,4*100 = 3,84` .
Omdat
`D gt 0`
zijn er twee oplossingen voor de vergelijking:
`t = (12,8-sqrt(3,84))/(2*0,4) ≈ 13,55 vv t = (12,8+sqrt(3,84))/(2*0,4) ≈ 18,45`
.
Allebei de gevonden waarden hebben betekenis: Karel haalt Carlijn in na `13,55` s, maar blijft niet vóór haar rijden. Carlijn haalt Karel weer in na `18,45` s.
`x = 0 vv x = 16/3`
`x = (8+-sqrt(132))/2`
`x = 1,5 vv x = 3`
`x = +- sqrt(8)`
`x=0 vv x=text(-)9,5`
Na `102,0` m.
`108` m.
Tussen `28,8` en `71,2` m.