Kwadratische functies

Kwadratische functies > De abc-formule

12345De abc-formule

Theorie

Elke vergelijking die je kunt schrijven in de vorm $a x^{2} + b x + c = 0$ heet een kwadratische vergelijking of ook wel tweedegraads vergelijking (mits `a != 0` ) omdat de hoogste macht van de onbekende $x$ die voorkomt $2$ is. (Een lineaire vergelijking noem je ook wel een eerstegraads vergelijking.)

De oplossing van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ met `a != 0` is

$x = \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} \lor x = \frac{- b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

Deze oplossing noem je de abc-formule.

> bewijs

Hieronder zie je een bewijs van de abc-formule. Dat wil zeggen dat je aantoont dat de formule in alle gevallen klopt. Je gaat daartoe $a x^{2} + b x + c = 0$ in algemene zin oplossen. Je schrijft die formule daartoe eerst in de vorm $a {(x - p)}^{2} + q = 0$ waarin $(p, q)$ de top van de parabool is.

Die top ga je eerst berekenen. Daartoe bepaal je de symmetrieas. Deze lijn is de middelloodlijn tussen twee punten op gelijke hoogte op de parabool, bijvoorbeeld op hoogte $y = c$ . Die twee punten bereken je dus uit $a x^{2} + b x + c = c$ , ofwel $a x^{2} + b x = 0$ . Dit geeft $x = 0 \lor x = - \frac{b}{a}$ . De symmetrieas is daarom $x = - \frac{b}{2 a}$ . Dit invullen levert de top op: $T (- \frac{b}{2 a}, c - \frac{b^{2}}{4 a})$ .

Dus moet je oplossen

$a {(x + \frac{b}{2 a})}^{2} + c - \frac{b^{2}}{4 a} = 0$ . Dit geeft ${(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = {(\frac{b}{2 a})}^{2} - \frac{c}{a} = \frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}$

Worteltrekken:

$x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}}$

En nu een beetje herleiden:

$x = - \frac{b}{2 a} \pm \sqrt{\frac{b^{2} - 4 a c}{4 a^{2}}} = \frac{- b}{2 a} \pm \frac{\sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$

En hiermee is de abc-formule gevonden.

Het is bij het oplossen van een kwadratische vergelijking handig om eerst de discriminant $D = b^{2} - 4 a c$ te berekenen.

Als `D gt 0` heb je twee waarden in de oplossing.
Als $D = 0$ heb je één waarde in de oplossing.
Als `D lt 0` heb je geen reële waarden in de oplossing.

Je kunt hiermee de oplossing van elke kwadratische vergelijking kortweg zo opschrijven:

De oplossing van de vergelijking $a x^{2} + b x + c = 0$ is $x = \frac{- b \pm \sqrt{D}}{2 a}$ .

Bekijk ook de (engelstalige) videoclip "quadratic formula" in het Practicum .

verder | terug