`(2x+7)(2x+4)=37,44`
Manier 1:
`(2x+7)(2x+4)` | `=` | `37,44` | |
`4x^2+14x+8x+28-37,44` | `=` | `0` | |
`4x^2+22x-9,44` | `=` | `0` | |
`x` | `=` | `(text(-)22 pm sqrt(22^2-4*4*(text(-)9,44)))/(2*4)` | |
`x` | `=` | `0,4 vv x=text(-)5,9` (voldoet niet) | |
`x` | `=` | `0,4` m |
Manier 2:
`(2x+7)(2x+4)` | `=` | `37,44` | |
`4x^2+14x+8x+28-37,44` | `=` | `0` | |
`4x^2+22x-9,44` | `=` | `0` | |
`x^2+5,5x-2,36` | `=` | `0` | |
`(x-0,4)(x+5,9)` | `=` | `0` | |
`x` | `=` | `0,4 vv x=-5,9` (voldoet niet) | |
`x` | `=` | `0,4` m |
Manier 2 zou het handigste moeten zijn.
Eerst de nulpunten berekenen (hopelijk zijn die er) en dan daarmee de symmetrieas bepalen.
Voor de symmetrieas geldt
`x = text(-)(4)/(2*2) = text(-)1`
.
De top is dus
`(text(-)1, 3)`
.
De top ligt boven de `x` -as en het is een dalparabool.
De lijn `y=5` ligt hoger dan het minimum van de parabool.
`2x^2 + 4x + 5 = 5` geeft `2x^2 + 4x = 2x(x + 2) = 0` , dus `x=0 vv x=text(-)2` .
`2x^2 + 4x + 5 = 21` geeft `2x^2 + 4x - 16 = 2(x^2 + 2x - 8) = 2(x+4)(x-2) = 0` , dus `x=2 vv x=text(-)4` .
Lees af: , en .
Oplossing: .
Dit kun je herleiden tot .
Oplossing: `2x^2-5x = x(2x-5) = 0` geeft `x = 0 vv x = 2,5` .
Schrijf de vergelijking eerst als .
Lees af: , en .
Oplossing: .
Dit hoef je niet verder te herleiden, want de wortel is niet te vereenvoudigen.
Schrijf de vergelijking eerst als .
Oplossing: `x^2 + x - 2 = (x+2)(x-1)=0` geeft `x=text(-)2 vv x=1` .
Je schrijft de vergelijking eerst als en dus als `x^2 - 6x + 8 = 0` .
Oplossing: `x^2 - 6x + 8 = (x-2)(x-4) = 0` geeft `x = 2 vv x = 4` .
Lees af: , en .
Oplossing: .
Omdat nu de wortel uitkomt vind je .
`x = 4` invullen in de formule: `y = text(-)2*4^2 + 16*4 + 2 = 34` .
`x` | `0` | `1` | `2` | `3` | `4` | `5` | `6` | `7` | `8` |
`y` | `2` | `16` | `26` | `32` | `34` | `32` | `26` | `16` | `2` |
Los op:
`text(-)2x^2 + 16x + 2 = 0`
.
De abc-formule geeft
`x = (text(-)16 +- sqrt(272))/(text(-)4)`
.
Je vindt dus
`x ~~ text(-)0,123 vv x ~~ 8,123`
.
Het verschil tussen beide is ongeveer
`8,25`
m.
Symmetrieas:
`x = text(-) (text(-)15)/6 = 2,5`
.
Dalparabool, dus een minimum bij
`x=2,5`
van
`y=text(-)18,75`
.
Het minimum ligt onder de
`x`
-as, dus er zijn twee nulpunten.
`3x^2 - 15x = 0`
geeft
`3x(x-5)=0`
, dus
`x=0 vv x=5`
.
Symmetrieas:
`x = text(-) (text(-)8)/4 = 2`
.
Dalparabool, dus een minimum bij
`x=2`
van
`y=8`
.
Het minimum ligt boven de
`x`
-as, dus er zijn geen nulpunten.
Symmetrieas:
`x = text(-) (text(-)4)/(text(-)0,2) = text(-)20`
.
Bergparabool, dus een maximum bij
`x=text(-)20`
van
`y=41`
.
Het maximum ligt boven de
`x`
-as, dus er zijn twee nulpunten.
`text(-)0,1x^2 - 4x + 1 = 0`
geeft
`x = (4 +- sqrt(16,4))/(text(-)0,2)`
.
Symmetrieas:
`x = text(-) (text(-)8)/2 = 4`
.
Dalparabool, dus een minimum bij
`x=4`
van
`y=0`
.
Het minimum ligt op de
`x`
-as, dus er is een nulpunt, namelijk
`x=4`
.
`x = 0` geeft `h = 1,80` . Dus op `1,80` m hoogte.
Symmetrieas `x = text(-) (0,52)/(text(-)0,052) = 10` , dus de top is `(10; 4,4)` .
Maak eerst een tabel en een grafiek. Ze haalt ongeveer `23` m.
`x` | `0` | `5` | `10` | `15` | `20` | `25` |
`h` | `1,8` | `3,75` | `4,4` | `3,75` | `1,8` | `text(-) 1,45` |
`text(-)0,026x^2 + 0,52x + 1,80 = 0`
oplossen met de abc-formule.
Ga na, dat je ongeveer op
`23`
m uitkomt.
Omdat daarin de hoogte tegen de tijd `t` wordt uitgezet en niet tegen de horizontale afstand naar een punt recht onder de massa.
`h = 30 * 3,06 - 4,905 * 3,06^2 ~~ 45,87`
De hoogte van deze massa is
`30`
m als
`30 t - 4,905t^2 = 30`
, of
`4,905t^2 - 30t + 30 = 0`
.
Dit los je het handigst op met de abc-formule.
Je vindt
`t ~~ 4,86 vv t ~~ 1,26`
.
Dus de massa zit ongeveer `3,6` seconde boven de `30` m.
`h = 381 - 4,9 t^2`
Los op `381 -4,9 t^2 = 0` .
Je vindt `4,9t^2 = 381` , dus `t^2 ~~ 77,8` en `t~~ +- 8,8` .
Na ongeveer `8,8` seconden.
`v = sqrt(381/(4,9))*9,8 = 86,415...`
`86,42` m/s `~~311` km/h
Symmetrieas:
`x = text(-)5/4 = text(-)1,25`
.
Top:
`(text(-)1,25; text(-)3,125)`
.
Dalparabool met top onder de
`x`
-as, dus twee nulpunten.
`2x^2 + 5x = 0`
geeft
`x(2x+5) = 0`
, dus
`x = 0 vv x = text(-)2,5`
.
Top:
`(10, 16)`
.
Bergparabool met top boven de
`x`
-as, dus twee nulpunten.
`text(-)0,4(x - 10)^2 + 16 = 0`
geeft
`(x-10)^2 = 40`
, dus
`x = 10 +- sqrt(40)`
.
`y = x(x-4) + 20`
geeft
`y = x^2 - 4x + 20`
.
Symmetrieas:
`x = 4/2 = 2`
.
Top:
`(2, 16)`
.
Dalparabool met top boven de
`x`
-as, dus geen nulpunten.
Symmetrieas:
`x = 5/(0,4) = 12,5`
.
Top:
`(12,5; text(-)41,25)`
.
Dalparabool met top onder de
`x`
-as, dus twee nulpunten.
`0,2x^2 - 5x - 10= 0`
geeft
`x = (5 +- sqrt(33))/(0,4)`
, dus
`x ~~ 26,90 vv x ~~ text(-)1,86`
.
Nulpunten meteen aflezen door splitsen:
`x=5 vv x=3`
.
Symmetrieas:
`x = 4`
.
Top:
`(4, text(-)6)`
.
Haakjes uitwerken en op herleiden geeft .
Ontbinden: .
Oplossing:
Direct splitsen: . Oplossing: .
Herleiden tot .
Als je probeert te worteltrekken dan zie je dat er geen reële oplossingen zijn.
Herleiden tot en dan worteltrekken geeft .
Oplossing: .
Haakjes uitwerken, op herleiden en de abc-formule toepassen.
Oplossing: .
Meteen worteltrekken: .
Oplossing: .
Deze twee tuidraden hangen `615` m uit elkaar en precies in het midden daarvan is `x=0` .
`615/2=307,5` . Dus de ene hangt bij `x=text(-)307,5` en de andere bij `x=307,5` .
Invullen in de formule: `y = 149/409600*307,5^2 + 3 ~~37,4` m.
Dus beide tuidraden zijn ongeveer `37,4` m lang.
Je weet dat `y=111,2` . Maak hiermee een vergelijking en los die op.
`149/409600 x^2 + 3` | `=` | `111,2` | |
`149/409600 x^2` | `=` | `108,2` | |
`x^2` | `~~` | `297441,07` |
Je vindt: `x~~±545,2` .
Dus de draden zitten ongeveer `545,2*2=1090,8` m uit elkaar.
Voer de functie in GeoGebra in met `text(-)5 le x le 10` en `text(-)5 le y le 200` .
Of met de GR: Y1=100+40X−5X^2
Venster bijvoorbeeld:
`text(-)5 le x le 10`
en
`text(-)5 le y le 200`
.
Vul `t = 0` in, je vindt `h = 100` meter
`100 + 40t - 5t^2 = 100`
geeft
`t^2 - 8t = t(t-8) = 0`
en dus
`t = 0 vv t = 8`
.
Na
`8`
seconden heeft de vuurpijl weer dezelfde hoogte.
Na `4` seconden was de vuurpijl op het hoogste punt. Toen was hij `180` meter boven de begane grond.
`100 + 40t - 5t^2 = 0`
geeft
`t^2 - 8t - 20 = (t-10)(t+2) = 0`
en dus
`t = text(-)2 vv t = 10`
.
Na
`10`
seconden komt de vuurpijl op de grond.
Nee, je weet niet onder welke hoek de pijl is afgeschoten. In de formule wordt `h` uitgezet tegen de tijd, dus je weet alleen het verloop van de hoogte.
Van
`h_1 = text(-)5x^2 + 11x -2,85`
is de symmetrieas
`x = 1,1`
en de kozijnhoogte dus
`3,2`
m.
Bij
`h_2 = text(-)5x^2 - 11x -2,85`
is dat hetzelfde.
Je moet dan oplossen
`text(-)5x^2 + 11x -2,85 = 0`
.
De abc-formule geeft
`x = 0,3 vv x = 1,9`
.
De breedte van de portiekopening op de grond is
`1,6`
m.
Gebruik GeoGebra, Desmos, of een GR. In de grafieken zit een paraboolvorm, maar de werkelijke portieken zijn veel ronder van vorm.
`A = pi r^2 + pi r * 15,3 = 486,2` .
Dit geeft `pi r^2 + 15,3pi r - 486,2 = 0` .
Met de abc-formule: `r = (text(-)15,3pi ± sqrt(8420,1))/(2pi)` , dus `r~~6,95 vv r~~text(-)8,07` .
Alleen de eerste oplossing voldoet.
De diameter van de grondcirkel is dus `6,95` cm.
Noem de straal van de buitencirkel bovenaan
`r`
cm, dan is die van de binnencirkel bovenaan
`r - 0,7`
cm.
Dus is
`1/3 pi r^2 * 40 - 1/3 pi (r-0,7)^2 * 38 = 4,16`
.
Dit betekent
`40r^2 - 38(r-0,7)^2 ~~ 3,97`
cm3.
Ofwel
`2r^2 - 53,2r - 14,75 = 0`
, zodat
`r ~~ 26,9`
cm.
De buitendiameter is ongeveer
`53,7`
cm en de binnendiameter is ongeveer
`52,3`
cm.
`V = 1/3 pi * 26,2 * 38 ~~ 950` cm3.
`x = 0,5`
`x = text(-)4 vv x = 2`
`x=text( -) 1/2sqrt(6) vv x= 1/2sqrt(6)`
`x = 0 vv x = 100`
Ja, het kan net.