Machten en wortels

Machten en wortels > Recht evenredig met een macht

12345Recht evenredig met een macht

Uitleg

De inhoud van een kubus met ribben van lengte `r` is: `I=r*r*r=r^3` .

Dit is een typisch voorbeeld van een machtsfunctie: de variabele `r` moet tot de derde macht worden verheven om de uitkomsten te vinden.

De massa van een kubus `m` is recht evenredig met de derde macht van `r` .
De soortelijke massa van een massief ijzeren kubus is `7,87` kg/dm³.
Voor het gewicht van deze kubus geldt: `m=7,87*r^3` , waarin `r` is uitgedrukt in dm.
Het getal `7,87` is de evenredigheidsconstante.

Als je de lengte van de ribben van een massief ijzeren kubus van `500` kg wilt uitrekenen, dan moet je oplossen:

`7,87*r^3 = 500`

Dat kun je doen door eerst beide zijden door `7,87` te delen: `r^3 = 63,532...` .
Vervolgens neem je de derdemachts wortel: `r = root[3](63,532...) ~~ 3,990 ~~ 4,0` dm.

Deze laatste stap kan ook anders.
Uit de rekenregel `(r^a)^b = r^(a*b)` volgt `(r^3)^(1/3) = r^(3*1/3) = r^1 = r` .

Dus kun je `r^3 = 63,532...` oplossen door beide zijden tot de macht `1/3` te verheffen:

`r = (63,532...)^(1/3) ~~ 3,990 ~~ 4,0` dm.

Je ziet dat `root[3](x) = x^(1/3)` .
En dit geldt heel algemeen: `root[n](x) = x^(1/n)` .
En dat betekent dat we ook breuken als machten kunnen toelaten. In feite kan elk decimaal getal als exponent van een macht optreden.

Opgave 1

De inhoud van een kubus wordt beschreven met de formule: `I=r^3` .

Bereken de inhoud van een kubus waarvan de ribbe `4` cm is.

Maak de ribben twee keer zo groot. Wat gebeurt er met de inhoud?

Waarom is de inhoud van een kubus wel recht evenredig met `r^3` , maar niet recht evenredig met `r` ?

Bekijk de formule voor de massa van de massieve ijzeren kubus in de Uitleg .

Bereken `r` bij een kubus met een massa van `200` kg.

Laat zien dat je die formule kunt herleiden tot: `r ~~ 0,50*m^(1/3)` .

Bereken `r` met de formule `r ~~ 0,50*m^(1/3)` als de massa van de kubus `200` kg is.
Vind je hetzelfde antwoord als bij d?

Opgave 2

Ook het verband tussen de ribbe `r` en de oppervlakte `A` van een kubus is een machtsverband.

Waarom is de oppervlakte recht evenredig met `r^2` ?
Waarom is de soortelijke massa van het materiaal waar de kubus van is gemaakt niet van belang?

Bereken de oppervlakte van een kubus met een ribbe van `4` cm.

Hoeveel keer zo groot moet de ribbe worden om een kubus te krijgen met een `4` maal zo grote oppervlakte?

Laat zien dat de formule bij a is te herleiden tot `r ~~ 0,408A^(1/2)` .

Bereken `r` met de formule `r ~~ 0,408A^(1/2)` als de oppervlakte van de kubus `150` cm² is.

verder | terug