Machten en wortels

Machten en wortels > Omgekeerd evenredig met een macht

12345Omgekeerd evenredig met een macht

Uitleg

De hoeveelheid licht die de lamp per seconde uitstraalt heet de lichtstroom `Phi` en wordt uitgedrukt in lumen, in lm. De verlichtingssterkte `E` op een oppervlak is het aantal lumen per m².
Deze eenheid heet wel lux: `1` lux `= 1` lm/m². Er geldt:

`E = (Phi)/A`

Hierin is:

`E` de verlichtingssterkte in lux
`Phi` de lichtstroom in lm (lumen)
`A` de oppervlakte van het verlichte deel in m²

Bij een kegelvormige lamp is `A = c*pi*h^2` , waarin `h` (in m) de hoogte van de lamp boven het verlichte oppervlak en `c` een constante is.

Als bijvoorbeeld `Phi = 600` lm en `c = 1` is:

`E = (Phi)/(c*pi*h^2) = 600/(pi*h^2) ~~ 191/(h^2)`

Als `h` groter wordt, neemt `E` juist af (omdat je dan door een groter getal deelt).
Je zegt wel dat `E` omgekeerd evenredig is met het kwadraat van `h` , dus met `h^2` .
Bij een formule waarin de variabele (ook) in de noemer van een breuk zit heb je te maken met een gebroken functie.

Je kunt de formule echter (met de rekenregels voor machten) ook zo schrijven:

`E = 191/(h^2) = 191 * 1/(h^2) = 191*(h^0)/(h^2) = 191*h^(text(-)2)`

En dus is `E` ook recht evenredig met een macht van `h` , namelijk met `h^(text(-)2)` .
Je kunt zo'n gebroken functie als machtsfunctie schrijven.

Bij dit soort functies heb je te maken met bijzondere gevallen: als `h` heel groot wordt, benadert `E` de waarde `0` , maar `E` kan nooit echt `0` worden.

Opgave 1

Bekijk in de Uitleg de formule voor de verlichtingssterkte `E` op een tafeloppervlak. Ga uit van een lamp met een lichtstroom van `Phi = 600` lm.

Waarom is het logisch dat `E` omgekeerd evenredig is met de oppervlakte `A` van het gebied dat wordt verlicht?

Er wordt van een kegelvormige lichtbundel uitgegaan. Dan is `A = c*pi*h^2` .
Er wordt gekozen voor `c = 1` . Wat zegt dit over de kegelvorm?

Maak de grafiek van `E = 191/(h^2)` . Neem alleen positieve waarden voor `h` .

Bereken `E` als `h = 2,8` m.

Bij welke waarde van `h` is `E gt 100` lux?

Herleid de formule `E = 191/(h^2)` tot `h` is uitgedrukt in `E` .
Laat zien dat ook hier van een machtsfunctie sprake is.

Opgave 2

Beschrijf de volgende verbanden met de termen "recht evenredig" of "omgekeerd evenredig" . Schrijf bij omgekeerd evenredigheid ook de bijbehorende machtsfunctie op.

`F = 300/(r^2)`

`P = 0,52*v^3`

`s = 1,2*t`

`t = 60/v`

Opgave 3

De basisformule voor een omgekeerd evenredig verband is de functie: `y = c/(x^p)` , waarin `p` een willekeurig (positief) getal is.

Bekijk de grafieken van deze functie voor `c = 1` , `p = 1, 2, 3, 4, 5` en voor `text(-)10 le x le 10` .

Bij welke waarde van `x` hebben deze functies geen uitkomst?
Wat is er dan met hun grafiek aan de hand?

Neem aan dat je `x` oneindig groot (zowel positief als negatief) zou kunnen maken.
Wat is er dan met de grafiek aan de hand?

Neem nu `c=1` , `p=0,5` en bekijk de grafiek voor `text(-)10 le x le 10` .
Waarom zijn er nu bij negatieve waarden van `x` geen uitkomsten?

Laat zien, dat de formules bij deze functies te schrijven zijn als `y = c*x^(text(-)p)` .

verder | terug