Machten en wortels > Wortelfuncties en gebroken functies
12345Wortelfuncties en gebroken functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Je kunt de formule schrijven als `y=3572*(x+25)^(0,5)` .

b

Een verschuiving in de `x` -richting met `text(-)25` .

Een vermenigvuldiging met `3572` in de `y` -richting.

c

`h ge text(-)25`

d

Nee, omdat er binnen de wortelvorm eerst nog `25` bij `h` moet worden opgeteld. Als `h` twee keer zo groot wordt, wordt `a` niet twee keer zo groot.

Opgave V2
a

Je kunt de formule schrijven als `y=89*(x-2)^(text(-)1)` .

b

Een verschuiving in de `x` -richting met `2` .

Een vermenigvuldiging met `89` in de `y` -richting.

c

`T` mag in ieder geval geen `2` zijn en waarden onder de `2` °C zijn vast ook niet bruikbaar, dus `T ge 2` .

d

Nee, omdat er binnen de noemer eerst nog `2` van `T` moet worden afgetrokken. Als `T` twee keer zo groot wordt, wordt `t` niet twee keer zo groot.

Opgave 1
a

`y = 4 x^ (1/2) +3`

b

Geen echte machtsfunctie, je kunt er wel `y = (4 + x^2)^(1/2)` van maken.

c

`y = 4x^(text(-)1/2) + 3`

Opgave 2
a

Voer `y = text(-)3 sqrt(2x - 8) + 6` in.

De mogelijke transformaties zijn:

  • eerst verschuiving van `8` naar rechts;

  • vervolgens vermenigvuldigen met `text(-)3` in de `y` -richting;

  • tenslotte verschuiving van `6` omhoog.

b

Schrijf `text(-)3 sqrt(x - 8) + 6 = 0` eerst als `sqrt(x - 8) = 2` . Daarmee heb je de wortel geïsoleerd.

Nu ga je kwadrateren en vind je `x = 12` .

c

`x - 8 ge 0` betekent `x ge 8` .

d

`text(-)3 sqrt(x-8 ) + 6 = text(-)12` geeft `sqrt(x - 8) = 6` .

Kwadrateren: `x - 8 = 36` en dan verder oplossen. Je vindt: `x = 44` .

De oplossing van de ongelijkheid is `8 ≤ x ≤ 44` .

Opgave 3
a

`y = x^(text(-)2) + 4`

b

Dit is geen machtsfunctie.

c

`y = 2(x-3)^(text(-)4) + 10`

d

`y = 4/x + x/x = 4/x + 1 = 4 x^(text(-)1) + 1`

Opgave 4
a

Bedenk: `y = 3*(x - 4)^(text(-)2) + 1` .

Uit de grafiek van `y = 1/(x^2) = x^(text(-)2)` .

Je moet op die grafiek:

  • eerst een verschuiving van `4` naar rechts,

  • vervolgens een vermenigvuldiging met `3` in de `y` -richting,

  • tenslotte een verschuiving van `1` omhoog

toepassen.

b

De asymptoten van de bijbehorende standaardfunctie zijn de beide assen.
Door de transformaties wordt de verticale asymptoot `x = 4` en de horizontale `y = 1` .

`x=4` mag je niet invullen.

c

`3/((x-4)^2) + 1 = 4` geeft `3/((x-4)^2) = 3` en dus `(x-4)^2 = 1` .

Daaruit volgt `x-4=1 vv x-4=text(-)1` en `x=5 vv x=3` .

Grafiek: `3 ≤ x lt 4 vv 4 lt x ≤ 5` .

Opgave 5
a

Je zou `~~2,294` moeten vinden.

b

Door vermenigvuldiging met `2,29` in de `T` -richting.

c

`2,29*sqrt(m) = 2` geeft `sqrt(m) = 2/(2,29)` en dus `m = (2/(2,29))^2 ~~ 0,76` .

Opgave 6
a

Beide zijden van `T = 2pi sqrt(m/c)` kwadrateren geeft `T^2 = (4pi^2 m)/c` .

Dit wordt `c*T^2 = 4pi^2 m` en dus `c = (4pi^2 m)/(T^2)` .

b

`c = (4pi^2 * 1)/(2^2) ~~ 9,87` N/m.

Opgave 7
a

Door vermenigvuldiging met `840` en verschuiving van `0,45` in de `k` -richting.

b

Verticale asymptoot `a=0` .

Horizontale asymptoot `k=0,45` .

c

`840/a + 0,45 = 0,60` geeft `840/a = 0,15` en dus `a = (840)/(0,15) = 5600` .

Grafiek: `a ge 5600` .

Opgave 8
a

`t=89*(T-2)^(text(-)1)`

b

Verticale asymptoot `T=2` .

Horizontale asymptoot `t=0` .

b

Je moet oplossen: `89/(T−2) le 5` .

`89/(T−2) = 5` geeft `T-2 = 89/5` en dus `T = 19,8` °C.

Grafiek: `T ge 19,8` °C.

Opgave 9
a

`y = text(-)10*(x+12)^(1/2) + 40` . 

b

Eerst verschuiven met `text(-)12` in de `x` -richting, dan vermenigvuldigen met `text(-)10` in de `y` -richting en tenslotte `40` omhoog verschuiven.

c

Er moet gelden `x+12 ge 0` en dus `x ge text(-)12` .

d

Snijpunt met de `y` -as: `x=0` geeft `y=40-10sqrt(12)~~5,36` .
Het punt is `(0; 5,36)` .

Snijpunt met de `x` -as: `y=0` geeft `40 - 10sqrt(x+12)=0` .

Dit wordt `sqrt(x+12)=4` en `x+12=16` , dus `x=4` . Controleren: het klopt.
Het punt is `(4, 0)` .

e

`40 - 10sqrt(x+12) = 10` geeft `sqrt(x+12) = 3` .

Kwadrateren geeft `x+12=9` en dus `x = (text(-)3` .

Grafiek: `text(-)12 le x le text(-)3` .

Opgave 10
a

`y = text(-)100 (x+10 ) ^(text(-)3)+40`

b

De grafiek onstaat door die van `y = 1/(x^3)` met `text(-)10` in de `x` -richting te verschuiven, dan met `text(-)100` in de `y` -richting te vermenigvuldigen en tenslotte met `40` in de `y` -richting te verschuiven. De asymptoten verschuiven mee.

Verticale asymptoot `x=text(-)10` en horizontale `y=40` .

c

`100/((x+10)^3)=40` geeft `(x+10) ^3=2 1/2` en dus `x=text(-)10 +root[3](2 1/2) ~~ text(-)8,64` .
Het nulpunt is `(text(-)8,64; 0)` .

Opgave 11
a

`P=160-65/1 = 95` kg.

b

De grafiek onstaat door die van `P = 1/a` met `text(-)1` in de `a` -richting te verschuiven, dan met `text(-)65` in de `P` -richting te vermenigvuldigen en tenslotte met `160` in de `P` -richting te verschuiven. De asymptoten verschuiven mee.

Verticale asymptoot `a = text(-)1` (heeft eigenlijk geen betekenis).

Horizontale asymptoot `P = 160` .

c

Los op `160 - 65/(1+a) ge 140` .

`160 - 65/(1+a) = 140` geeft `65/(1+a)=20` en dus `1+a=65/20` zodat `a = 2,25` L.

Grafiek: `a gt 2,25` L.

Opgave 12
a

Zie de figuur.
Voor het linkerdeel geldt `y = sqrt(3-2*(text(-)x)) = sqrt(3+2x)` .

Zie de figuur.

b

Neem `x=0` en je vindt `y = sqrt(3) ~~ 1,73` m.

c

`sqrt(3-2x)=1` geeft `3-2x = 1` en dus `x=1` .
Die punten liggen `2` m van elkaar.

Opgave 13
a

Je moet `r` vervangen door `a+1738000` en voor `g` , `m_1` en `m_2` de juiste getallen invullen.
De formule wordt `F ~~ 6,674 * 10^(text(-)11) * (7,35*10^22 * 1)/((a+1738000)^2) ~~ (49,1*10^(11))/((a+1738000)^2)` .

b

`F = 49,1*10^11 * (a + 1738000)^(text(-)2)` onstaat uit `F=a^(text(-)2)` door:

  • eerst verschuiving van `text(-)1738000` in de `a` -richting;

  • dan vermenigvuldiging met `49,1*10^11` in de `F` -richting.

c

Verticale asymptoot `a = text(-)1738000` (heeft eigenlijk geen betekenis).

Horizontale asymptoot `F = 0` .

Opgave A1
a

De waarde van de breuk wordt kleiner als `v` groter wordt.

b

`6,9 +(298,5)/v = 14` geeft `v ~~ 42` km/h.

c

Bij `v=30` geldt voor de warme motor `u ~~ 10,93` g/km en voor de koude motor `u ~~ 16,85` g/km.

Het verschil is `(16,85 - 10,93)/(10,93) * 100 ~~ 54,2` %.

c

De koude motor begint met een hogere uitstoot en die wordt wel minder, maar blijft altijd boven de `6,9` g/km (de asymptoot van de grafiek).

Opgave A2

Er geldt `v = 3600*L/T` km/uur.

Vul dit in de formule `u=4,4 +(196,0)/v` in: `u = 4,4 + (196,0)/((3600L)/T) ~~ 4,4 + (0,054T)/L` .

`u_(text(tot)) = L * u = 4,4L + 0,054T` .

Opgave T1
a

`y = 3*(x)^(1/2) - 6` . 

b

Eerste vermenigvuldigen vermenigvuldigen met `3` in de `y` -richting en tenslotte `6` omlaag verschuiven.

c

Snijpunt met de `y` -as: `(0, text(-)6)` .

Snijpunt met de `x` -as: `(4, 0)` .

d

`0 le x le 24,5` .

Opgave T2
a

`y = 150*x^(text(-)1) - 5`

b

Verticale asymptoot `x = 0` en horizontale `y=text(-)5` .

c

`(30, 0)`

d

`0 lt x le 3,33`

verder | terug