Machten en wortels

Machten en wortels > Wortelfuncties en gebroken functies

12345Wortelfuncties en gebroken functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Neem enkele waarden voor $l$ en bereken op beide manieren de tijd die nodig is voor één trilling (slinger).

$T$ moet kleiner worden, dus ook $l$ .

$l$ (m)	$0$	$0,25$	$0,49$	$0,64$	$0,81$	$1,00$
$T$ (s)	$0$	$1$	$1,4$	$1,6$	$1,8$	$2,0$

Opgave V2

Je kunt de formule schrijven als $y=89*(x-2)^(text(-)1)$ .

Een verschuiving in de $x$ -richting met $2$ .

Een vermenigvuldiging met $89$ in de $y$ -richting.

$T$ mag in ieder geval geen $2$ zijn en waarden onder de $2$ °C zijn vast ook niet bruikbaar, dus $T ge 2$ .

Nee, omdat er binnen de noemer eerst nog $2$ van $T$ moet worden afgetrokken. Als $T$ twee keer zo groot wordt, wordt $t$ niet twee keer zo groot.

Opgave 1

$y = 4 x^ (1/2) +3$

Geen echte machtsfunctie, je kunt er wel $y = (4 + x^2)^(1/2)$ van maken.

$y = 4x^(text(-)1/2) + 3$

Opgave 2

Voer $y = text(-)3 sqrt(2x - 8) + 6$ in.

De mogelijke transformaties zijn:

eerst verschuiving van $8$ naar rechts;
vervolgens vermenigvuldigen met $text(-)3$ in de $y$ -richting;
tenslotte verschuiving van $6$ omhoog.

Schrijf $text(-)3 sqrt(x - 8) + 6 = 0$ eerst als $sqrt(x - 8) = 2$ . Daarmee heb je de wortel geïsoleerd.

Nu ga je kwadrateren en vind je $x = 12$ .

$x - 8 ge 0$ betekent $x ge 8$ .

$text(-)3 sqrt(x-8 ) + 6 = text(-)12$ geeft $sqrt(x - 8) = 6$ .

Kwadrateren: $x - 8 = 36$ en dan verder oplossen. Je vindt: $x = 44$ .

De oplossing van de ongelijkheid is $x ge 44$ .

Opgave 3

$y = x^(text(-)2) + 4$

Dit is geen machtsfunctie.

$y = 2(x-3)^(text(-)4) + 10$

$y = 4/x + x/x = 4/x + 1 = 4 x^(text(-)1) + 1$

Opgave 4

Bedenk: $y = 3*(x - 4)^(text(-)2) + 1$ .

Uit de grafiek van $y = 1/(x^2) = x^(text(-)2)$ .

Je moet op die grafiek:

eerst een verschuiving van $4$ naar rechts,
vervolgens een vermenigvuldiging met $3$ in de $y$ -richting,
tenslotte een verschuiving van $1$ omhoog

toepassen.

De asymptoten van de bijbehorende standaardfunctie zijn de beide assen.
Door de transformaties wordt de verticale asymptoot $x = 4$ en de horizontale $y = 1$ .

$x=4$ mag je niet invullen.

$3/((x-4)^2) + 1 = 4$ geeft $3/((x-4)^2) = 3$ en dus $(x-4)^2 = 1$ .

Daaruit volgt $x-4=1 vv x-4=text(-)1$ en $x=5 vv x=3$ .

Grafiek: $3 ≤ x lt 4 vv 4 lt x ≤ 5$ .

Opgave 5

Je zou $~~2,294$ moeten vinden.

Door vermenigvuldiging met $2,29$ in de $T$ -richting.

$2,29*sqrt(m) = 2$ geeft $sqrt(m) = 2/(2,29)$ en dus $m = (2/(2,29))^2 ~~ 0,76$ .

Opgave 6

Beide zijden van $T = 2pi sqrt(m/c)$ kwadrateren geeft $T^2 = (4pi^2 m)/c$ .

Dit wordt $c*T^2 = 4pi^2 m$ en dus $c = (4pi^2 m)/(T^2)$ .

$c = (4pi^2 * 1)/(2^2) ~~ 9,87$ N/m.

Opgave 7

Door vermenigvuldiging met $840$ en verschuiving van $0,45$ in de $k$ -richting.

Verticale asymptoot $a=0$ .

Horizontale asymptoot $k=0,45$ .

$840/a + 0,45 = 0,60$ geeft $840/a = 0,15$ en dus $a = (840)/(0,15) = 5600$ .

Grafiek: $a ge 5600$ .

Opgave 8

$t=89*(T-2)^(text(-)1)$

Verticale asymptoot $T=2$ .

Horizontale asymptoot $t=0$ .

Je moet oplossen: $89/(T−2) le 5$ .

$89/(T−2) = 5$ geeft $T-2 = 89/5$ en dus $T = 19,8$ °C.

Grafiek: $T ge 19,8$ °C.

Opgave 9

$y = text(-)10*(x+12)^(1/2) + 40$ .

Eerst verschuiven met $text(-)12$ in de $x$ -richting, dan vermenigvuldigen met $text(-)10$ in de $y$ -richting en tenslotte $40$ omhoog verschuiven.

Er moet gelden $x+12 ge 0$ en dus $x ge text(-)12$ .

Snijpunt met de $y$ -as: $x=0$ geeft $y=40-10sqrt(12)~~5,36$ .
Het punt is $(0; 5,36)$ .

Snijpunt met de $x$ -as: $y=0$ geeft $40 - 10sqrt(x+12)=0$ .

Dit wordt $sqrt(x+12)=4$ en $x+12=16$ , dus $x=4$ . Controleren: het klopt.
Het punt is $(4, 0)$ .

$40 - 10sqrt(x+12) = 10$ geeft $sqrt(x+12) = 3$ .

Kwadrateren geeft $x+12=9$ en dus $x = text(-)3$ .

Grafiek: $text(-)12 le x le text(-)3$ .

Opgave 10

$y = text(-)100 (x+10 ) ^(text(-)3)+40$

De grafiek onstaat door die van $y = 1/(x^3)$ met $text(-)10$ in de $x$ -richting te verschuiven, dan met $text(-)100$ in de $y$ -richting te vermenigvuldigen en tenslotte met $40$ in de $y$ -richting te verschuiven. De asymptoten verschuiven mee.

Verticale asymptoot $x=text(-)10$ en horizontale $y=40$ .

$100/((x+10)^3)=40$ geeft $(x+10) ^3=2 1/2$ en dus $x=text(-)10 +root[3](2 1/2) ~~ text(-)8,64$ .
Het nulpunt is $x~~text(-)8,64$ .

Opgave 11

$P=160-65/1 = 95$ kg.

De grafiek ontstaat door die van $P = 1/a$ met $text(-)1$ in de $a$ -richting te verschuiven, dan met $text(-)65$ in de $P$ -richting te vermenigvuldigen en tenslotte met $160$ in de $P$ -richting te verschuiven. De asymptoten verschuiven mee.

Verticale asymptoot $a = text(-)1$ (heeft eigenlijk geen betekenis).

Horizontale asymptoot $P = 160$ .

Los op $160 - 65/(1+a) ge 140$ .

$160 - 65/(1+a) = 140$ geeft $65/(1+a)=20$ en dus $1+a=65/20$ zodat $a = 2,25$ L.

Grafiek: $a gt 2,25$ L.

Opgave 12

Zie de figuur.
Voor het linkerdeel geldt $y = sqrt(3-2*(text(-)x)) = sqrt(3+2x)$ .

Zie de figuur.

Neem $x=0$ en je vindt $y = sqrt(3) ~~ 1,73$ m.

$sqrt(3-2x)=1$ geeft $3-2x = 1$ en dus $x=1$ .
Die punten liggen $2$ m van elkaar.

Opgave 13

Je moet $r$ vervangen door $a+1738000$ en voor $g$ , $m_1$ en $m_2$ de juiste getallen invullen.
De formule wordt $F ~~ 6,674 * 10^(text(-)11) * (7,35*10^22 * 1)/((a+1738000)^2) ~~ (49,1*10^(11))/((a+1738000)^2)$ .

$F = 49,1*10^11 * (a + 1738000)^(text(-)2)$ ontstaat uit $F=a^(text(-)2)$ door:

eerst verschuiving van $text(-)1738000$ in de $a$ -richting;
dan vermenigvuldiging met $49,1*10^11$ in de $F$ -richting.

Verticale asymptoot $a = text(-)1738000$ (heeft eigenlijk geen betekenis).

Horizontale asymptoot $F = 0$ .

Opgave A1

De waarde van de breuk wordt kleiner als $v$ groter wordt.

$6,9 +(298,5)/v = 14$ geeft $v ~~ 42$ km/h.

Bij $v=30$ geldt voor de warme motor $u ~~ 10,93$ g/km en voor de koude motor $u ~~ 16,85$ g/km.

Het verschil is $(16,85 - 10,93)/(10,93) * 100 ~~ 54,2$ %.

De koude motor begint met een hogere uitstoot en die wordt wel minder, maar blijft altijd boven de $6,9$ g/km (de asymptoot van de grafiek).

Opgave A2

Er geldt $v = 3600*L/T$ km/uur.

Vul dit in de formule $u=4,4 +(196,0)/v$ in: $u = 4,4 + (196,0)/((3600L)/T) ~~ 4,4 + (0,054T)/L$ .

$u_(text(tot)) = L * u = 4,4L + 0,054T$ .

Opgave T1

$y = 3*(x)^(1/2) - 6$ .

Eerst vermenigvuldigen met $3$ in de $y$ -richting en tenslotte $6$ omlaag verschuiven.

Snijpunt met de $y$ -as: $(0, text(-)6)$ .

Snijpunt met de $x$ -as: $(4, 0)$ .

$0 le x le 25$ .

Opgave T2

$y = 150*x^(text(-)1) - 5$

Verticale asymptoot $x = 0$ en horizontale $y=text(-)5$ .

$(30, 0)$

$0 lt x le 3,33$

verder | terug