Machten en wortels > Totaalbeeld
12345Totaalbeeld

Testen

Opgave T1

Geef van de volgende functies aan of `y` recht evenredig is met een macht van `x` of juist omgekeerd evenredig met een macht van `x` of geen van beide. Laat zien hoe de functie als machtsfunctie kan worden geschreven.

a

`y = 3,45*x^(1,2)`

b

`y = 12*sqrt(2x)`

c

`y = 360/(x^2)`

d

`y = 2x + 3/x`

Opgave T2
bron: Wikipedia

Het lijkt aannemelijk dat er een verband bestaat tussen de oppervlakte van een gebied en het aantal verschillende diersoorten dat in dat gebied voorkomt. Een theorie hierover stelt dat het aantal verschillende diersoorten op een eiland in een bepaalde klimaatzone alleen afhankelijk is van de oppervlakte van het eiland. In deze opgave kijken we naar de verschillende soorten reptielen op eilanden in het Caraïbisch gebied. Onderzoekers telden op vele eilanden het aantal verschillende soorten reptielen.

Ze ontdekten een verband tussen de oppervlakte `A` van een eiland (in vierkante mijlen) en het aantal soorten reptielen ( `S` ) op dat eiland: `S=3 *A^(0,30)` .

Het eiland Jamaica is ongeveer `1300` vierkante mijlen groot. Er zijn meer soorten reptielen aangetroffen dan op grond van deze formule verwacht mag worden.

a

Hoeveel soorten reptielen zou een even groot eiland volgens de theorie hebben? Licht je antwoord toe.

b

Binnen de theorie geldt als ruwe regel: "Bij een `10` keer zo groot eiland vinden we `2` keer zoveel diersoorten." Laat zien dat dit uit de formule volgt.

Op een groot eiland worden veel verschillende soorten reptielen met uitsterven bedreigd. Men wil maatregelen nemen om de natuur te beschermen. Daarbij moet er een keuze worden gemaakt uit twee mogelijkheden:

  • Oprichting van één groot natuurreservaat met een oppervlakte van `400` vierkante mijlen.

  • Oprichting van twee kleinere reservaten, elk met een oppervlakte van `200` vierkante mijlen. Dergelijke natuurreservaten liggen geïsoleerd in de bewoonde wereld en kunnen als 'eilanden' beschouwd worden.

Voor het schatten van het aantal soorten reptielen dat in zo’n reservaat zal voorkomen kan de formule `S=3 *A^0,30` gebruikt worden. Welke mogelijkheid gekozen wordt, is mede afhankelijk van het aantal soorten dat de twee kleinere reservaten gemeen zullen hebben. Men neemt aan dat er `8` soorten reptielen zijn die zowel in het éne als het andere kleine reservaat zullen voorkomen. Men wil de mogelijkheid kiezen waarbij in totaal zoveel mogelijk verschillende soorten reptielen zullen voorkomen.

c

Welke van de twee mogelijkheden zal men kiezen? Licht je antwoord toe.

Opgave T3

Gegeven is de functie `y = 10 -2 (x-1) ^5` .

a

Laat zien door welke transformaties de grafiek van `f` kan ontstaan uit die van `y=x^5` .

b

Bereken algebraïsch de snijpunten van de grafiek van de gegeven functie met de beide coördinaatassen.

c

Los algebraïsch op: `y=496` .

d

Los algebraïsch op: `y gt 8` .

Opgave T4

Herleid de volgende functies naar de vorm `y = a*x^b` .

a

`y = 3sqrt(x)`

b

`y = 5/(2x^4)`

c

`y = 3/(sqrt(x))`

d

`y = root[3](729/(x))`

Opgave T5

Herleid de volgende functies naar wortelfuncties en/of gebroken functies.

a

`y = 5x^(1/3)`

b

`y = 2,5x^(text(-)3)`

c

`y = 3x^(text(-)1/2)`

d

`y = (2x)^(text(-)1/2)`

Opgave T6

Het licht van de Lange Jaap, een vuurtoren bij Den Helder, reikt `30` zeemijl ver. Een zeemijl is `1852` m. De lamp van de Lange Jaap bevindt zich op een hoogte van `57` m. Vanaf een kijkhoogte van `2` m is het licht van de Lange Jaap op een afstand van `30` zeemijl niet (rechtstreeks) te zien, omdat de vuurtoren zich dan achter de horizon bevindt.
De maximale afstand `d` waarop het licht van een vuurtoren een waarnemer (rechtstreeks) kan bereiken is afhankelijk van de hoogte `H` waarop de lamp van een vuurtoren zich bevindt en van de kijkhoogte `h` van de waarnemer. Bij benadering geldt:

`d = 3,74*(sqrt(H) + sqrt(h))`

Hierin is:

  • `d` de maximale afstand in km waarop het licht van een vuurtoren een waarnemer (rechtstreeks) kan bereiken

  • `H` de hoogte van het licht van de vuurtoren in m

  • `h` de kijkhoogte in m

a

Laat zien dat voor de Lange Jaap geldt `d ~~ 28,24 + 3,74*sqrt(h)` m.

b

De formule voor de kijkafstand van de Lange Jaap (zie a) is een getransformeerde machtsfunctie.
Leg uit welke machtsfunctie dat is en om welke transformaties het gaat.

c

Op welke kijkhoogte is de lamp van de Lange Jaap op een afstand van `30` zeemijl nog zichtbaar?

verder | terug