Zie de figuur.
De lijn `y=x` .
De grafiek van `y=log(x)` heeft de `y` -as als asymptoot.
De grafiek van `y=10^x` heeft de `x` -as als asymptoot.
Neem b.v. `x = 3` : `log(10^3) = log(1000) = 3` en `10^(log(3)) = 10^(0,477...) = 3` .
`(1, 10)`
Bijvoorbeeld: `(0, 1)` en `(1, 0)` of `(2, 100)` en `(100, 2)` .
Voer bijvoorbeeld
`3`
in
`y_1`
in en je krijgt
`10^3 = 1000`
.
Voer deze
`1000`
in
`y_2`
in en je krijgt
`log(1000) = 3`
.
Als je in `log(x) = 3` beide zijden een exponentiële functie met grondtal `10` toepast, krijg je `x = 10^3` omdat deze functie aan de linkerkant de logaritme wegwerkt. Dus de oplossing van `log(x)=3` is `x=10^3=1000` .
In de grafiek zie je nu dat `log(x) le 3` als oplossing heeft `0 lt x le 1000` .
Voer in een grafische rekenmachine in: `y_1 = 2^x` en `y_2 = (log(x))/(log(2))` of `y_2 = log_2(x)` .
Voer in GeoGebra in: `y_1 = 2^x` en `y_2 = log(2,x)` .
Venster bijvoorbeeld: `text(-)5 le x le 10` en `text(-)5 le y le 10` .
`(2, 4)`
Bijvoorbeeld: `(0, 1)` en `(1, 0)` of `(1, 2)` en `(2, 1)` .
`\ ^2log(x) = 3` geeft `x = 2^3 = 8` .
Grafiek: `0 lt x le 8` .
`y=\ ^2log(x) = (log(x))/(log(2)) = 1/(log(2))*log(x) ~~ 3,32*log(x)` .
De verticale asymptoot is `x=0` .
`\ ^ (1/2) log(x)` |
`=` |
`2` |
|
`x` |
`=` |
`(1/2) ^2=1/4` |
Dus voor `x = 0,25` .
`\ ^(1/2)log(x) = 3` geeft `x = (1/2)^3 = 0,125` .
Grafiek: `x ge 0,125` .
`y=\ ^(1/2)log(x) = (log(x))/(log(1/2)) = 1/(log(1/2))*log(x) ~~ text(-)3,32*log(x)` .
Verticale asymptoot `x=0` .
Je mag alleen `x` -waarden invullen met `x gt 0` .
`2,5*log(x) + 5 = 0` los je zo op:
`2,5*log(x) + 5` | `=` | `0` |
beide zijden `-5` |
`2,5*log(x)` | `=` | `text(-)5` |
beide zijden delen door `2,5` |
`log(x)` | `=` | `text(-)2` |
beide zijden exponentiële functie met grondtal `10` |
`x` | `=` | `10^(text(-)2) = 0,01` |
In de grafiek zie je dat de oplossing van de ongelijkheid is `0 lt x le 0,01` .
`y = 3*\ ^2log(x) - 1 = 3*(log(x))/(log(2)) - 1 = 3/(log(2))*log(x) - 1 ~~ 9,97*log(x)-1` .
`9,97*log(x) - 1 = 4` geeft `log(x) ~~ 0,502` en dus `x ~~ 10^(0,5017) ~~ 3,1748` .
Grafiek: `0 lt x le 3,17` .
Bijvoorbeeld zo:
`57 - 19log(p)` | `=` | `1` |
|
`text(-)19log(p)` | `=` | `text(-)56` |
|
`log(x)` | `=` | `56/19 ~~ 2,947` |
|
`x` | `~~` | `10^(2,947) ~~ 886` |
`h = 0` betekent `57 - 19log(p) = 0` .
Dit los je net zo op als bij a:
`57 - 19log(p) = 0` geeft `log(p) = 57/19 = 3` en dus `p = 10^3 = 1000` hPa.
`h = \ ^(0,886)log(p/1013) = (log(p/1013))/(log(0,886)) = 1/(log(0,886))*log(p/1013) ~~ text(-)19*log(p/1013)` .
`text(-)19*log(p/1013) = 0`
geeft
`log(p/1013) = 0`
en dus
`p/1013 = 10^0 = 1`
.
Hieruit volgt
`p=1013`
hPa.
`h ge text(-)19*log(900/1013) ~~ 0,976` km.
Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
De `y` -as.
`2*log(x) - 2,5 = 0` geeft `log(x) = (2,5)/2 = 1,25` , dus `x = 10^(1,25) ~~ 17,78` .
Grafiek: `0 lt x lt 17,8` .
`h = 32,8*\ ^(0,9)log(p/1050) = 32,8 * (log(p/1050))/(log(0,9)) ~~ text(-)716,8*log(p/1050)` .
`21` |
`=` |
`1 + a*log(100 )` |
|
`21` |
`=` |
`1 + 2a` |
|
`a` |
`=` |
`10` |
Voer in `y_1 = 1+10*log(x)` .
Venster bijvoorbeeld `0 le x le 1500` en `0 le y le 50` .
`31` |
`=` |
`1 + 10*log(x)` |
|
`log(x)` |
`=` |
`3` |
|
`x` |
`=` |
`1000` |
De ISO-waarde is `1000` .
`L = 75`
geeft
`20*log(N) = 202-4/3*75 = 202-100 = 102`
en dus
`N = 10^(5,1) ~~ 125893`
.
`L = 70`
geeft
`20log(N) = 202-4/3*70 ~~ 202-93,3 ~~ 108,67`
en dus
`N ~~ 10^(5,43)~~271227`
.
`271227`
is ruim
`2`
maal zo veel als
`125893`
.
`N = 500000` geeft `202 - 4/3 L ≈ 113,98` en daaruit volgt `L ≈ 66` .
De waarde van `N` geeft bij beide voorwaarden dezelfde waarde van `L` , dus `202 - 4/3 L = 248 - 2 L` . Deze vergelijking heeft als oplossing `L = 69` .
`B = 5,40`
geeft
`N_(text(max)) ~~ 1605`
.
De weg voldoet niet aan de veilige norm.
`(8289,3 (1,778 - log(B)))/B = 0`
als
`1,778 - log(B) = 0`
, dus als
`log(B) = 1,778`
.
Dit betekent
`B = 10^(1,778) ~~ 59,98`
m.
De formule van Gerlough heeft betekenis voor wegen van meer dan
`0`
tot maximaal
`59,98`
m.
`1648 = (8289,3 (1,778 - log(B)) )/B`
kun je alleen oplossen met een grafische rekenmachine of GeoGebra.
Je moet dan wel flink uitzoomen om de grafieken van
`y_1 = 1648`
en
`y_2 = (8289,3 (1,778 - log(x)))/x`
in beeld te krijgen. Ga na dat je
`B ~~ 5,3`
vindt.
Bij
`B = 5,30 - 0,50 = 4,80`
vind je
`N_(text(max)) ~~ 1894`
.
Het maximale aantal auto's neemt met
`1894 - 1648 = 246`
toe.
Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.
De `y` -as.
`0 lt x le 10^6` .
`k ≈ 125` .
`G ≈ 31,6` kg.