$A=200000+15000t$

`200000 + 15000*10 = 350000`

`B = 200000*1,05^t`

`200000*1,05^10 ~~ 325779 ~~ 326000`

De groeifactor per jaar ( `12` maanden) is `1,05` .
Noem je de groeifactor per maand `g` , dan is `g*g*g*g*g*g*g*g*g*g*g*g = g^12 = 1,05` .
De vergelijking `g^12 = 1,05` kun je oplossen door de omgekeerde macht te gebruiken: `g = 1,05^(1/12) ~~ 1,004` .
De maandelijkse groei is dus ongeveer `0,4` %.

Maak eerst tabellen. Neem voor $t$ de waarden $0$, $5$, $10$, $15$ en $20$.

Maak je tabel nauwkeuriger. In 2027 zijn er in land B voor het eerst meer leden, namelijk ongeveer $458000$ terwijl er in land A dan $455000$ leden zijn.

`1534*1,026^6 ~~ 1789`

`1,026^12 ~~ 1,361` en dat is een groeipercentage van ongeveer $\mathrm{36,1}$% per jaar.

`Z = 1789*1,361^t`

Je vindt nu ongeveer $6138$ zeehonden. Het verschil komt door de afrondingen.

Doen, er zijn twee snijpunten.

Maak zelf de grafieken in GeoGebra en laat dit programma het snijpunt bepalen, of gebruik een grafische rekenmachine. Je vindt `(8, 9)` .

Dit lukt alleen als de groeifactor groter wordt. Vanaf een groeifactor van ongeveer $\mathrm{1,17}$.

Doen, ook nu zijn er twee snijpunten.

Maak zelf de grafieken in GeoGebra en laat dit programma het snijpunt bepalen, of gebruik een grafische rekenmachine. Je vindt `(5,8; 1,1)` .

Tijd $t$	$0$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$6$	$7$	$8$
Aantal vlg Simonsz	$40000$	$41500$	$43000$	$44500$	$46000$	$47500$	$49000$	$50500$	$52000$
Aantal vlg Jansma	$40000$	$41200$	$42436$	$43709$	$45020$	$46371$	$47762$	$49195$	$50671$

$N=40000+1500t$

`N = 40000 * 1,03^t`

Op den duur zal de formule van mw. Jansma de meeste inwoners opleveren. Bij haar formule komt er jaarlijks een steeds groter aantal bij.

Verdubbeling bij Simonsz: $40000+1500t=80000$ geeft met de balansmethode `t ~~ 26,7` jaar.
Verdubbeling bij Jansma: `40000 * 1,03^t = 80000` geeft met behulp van GeoGebra of een grafische rekenmachine `t ~~ 23,4` jaar.
Volgens de formule van mw. Jansma is het aantal inwoners het eerst verdubbeld.

Je trekt telkens de aantallen inwoners van twee opeenvolgende jaren van elkaar af. Daar komt steeds ongeveer $1500$ uit. De getallen verschillen wel wat van jaar tot jaar, maar gemiddeld klopt dit wel ongeveer. In een grafiek ziet het er ook redelijk uit als een rechte lijn.

De beginhoeveelheid is ${79600}^{}$ op $t=0$ en er komen jaarlijks ongeveer $1500$ inwoners bij.

Je deelt telkens de aantallen inwoners van twee opeenvolgende jaren op elkaar. Daar komt steeds ongeveer $\mathrm{1,025}$ uit. De getallen kunnen wel wat van jaar tot jaar verschillen, maar gemiddeld klopt dit wel ongeveer. In een grafiek zie je de steeds sterkere stijging.

De beginhoeveelheid is ${72100}^{}$ op $t=0$ en er is een groeifactor per jaar van ongeveer $\mathrm{1,025}$.

Maak de tabellen en/of grafieken verder af, of werk met GeoGebra of een grafische rekenmachine.

Na het eerste uur is nog $\frac{51}{60}=\mathrm{0,85}$ deel over, na het tweede uur nog $\frac{43}{51}\approx \mathrm{0,84}$ en na het derde uur ook nog $\frac{37}{43}=\mathrm{0,86}$. Gemiddeld is er een groeifactor van $\mathrm{0,85}$.

$G=60\cdot {\mathrm{0,85}}^t$

Maak een tabel. Na $15$ uur is dit het geval.

$g=\sqrt[8]{\frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,95}$

Uit $1200=b\cdot {\mathrm{0,95}}^3$ volgt $b\approx 1400$.

Uit $800=b\cdot {\mathrm{0,95}}^{11}$ volgt $b\approx 1406$. Het verschil zit hem in de afronding van de groeifactor.

Per $11-3=8$ tijdseenheden is er een afname van $1200-800=400$. Per tijdseenheid dus een afname van $50$.
Bij deze lineaire functie past een formule van de vorm $N=\text{-}50t+b$. Nog even $t=3$ en $N=1200$ invullen en je krijgt de formule $N=\text{-}50t+1350$.

Lineaire functie: $N=\text{-}50\cdot 20+1350=350$.
Exponentiële functie: $N=1400\cdot {\mathrm{0,95}}^{20}\approx 502$

Uit $\text{-}50t+1350=0$ volgt $t=27$. Het exponentiële groeimodel geeft dan $N\approx 350$.

Eigenlijk raakt de hoeveelheid $N$ nooit op, elke keer is er nog $95$% van de vorige hoeveelheid over. Maar op zeker moment zal de hoeveelheid zo klein zijn dat hij niet meer waarneembaar of meetbaar is.

$H=160\cdot {\mathrm{1,15}}^t$ en op $t=10$ geldt $H\approx 647$.

$H=160+15t$ en op $t=10$ geldt $H=310$.

$H=160\cdot {\mathrm{0,85}}^t$ en op $t=10$ geldt $H\approx 31$.

$H=160-15t$ en op $t=10$ geldt $H=10$.

De groeifactor per dag bereken je uit $g^7=\mathrm{1,15}$. Je vindt $g\approx \mathrm{1,02}$.
De formule is dan $H=160\cdot {\mathrm{1,02}}^t$ en op $t=10$ geldt $H\approx 195$.

De groeifactor per dag bereken je uit $g^7=\mathrm{0,85}$. Je vindt $g\approx \mathrm{0,977}$.
De formule is dan $H=160\cdot {\mathrm{0,977}}^t$ en op $t=10$ geldt $H\approx 127$.

Deze medewerker gaat uit van lineaire groei. Als je begint met $154000$ inwoners in 2008 en je telt daar elk volgend jaar $2300$ inwoners bij, dan krijg je voor 2009 precies $156300$, voor 2010 $158600$ en voor 2011 $160900$ inwoners. En dat zou alleen aan de afrondingen kunnen liggen.

$I=2300t+154000$

$156300/154000\approx \mathrm{1,015}$, $158700/156300\approx \mathrm{1,015}$ en $161000/158700\approx \mathrm{1,015}$. Er is dus een groeifactor van $\mathrm{1,015}$ per jaar.

$I=154000\cdot {\mathrm{1,015}}^t$

Bij de exponentiële groei wordt de jaarlijkse stijging van het aantal inwoners steeds groter, dus worden op den duur de bevolkingsaantallen erg groot. Bij lineaire groei is de stijging jaarlijks gelijk.

Lineaire groei: $I=2300\cdot 12+154000=181600$.
Exponentiële groei: $I=154000\cdot {\mathrm{1,015}}^{12}\approx 184100$.

Als je de opeenvolgende aantal vossen steeds op elkaar deelt, vind je telkens ongeveer $\mathrm{0,87}$. De konijnen verminderen dus elk jaar ongeveer $13$% in aantal.

`K = 1450*0,87^t` .

Maak de tabel verder af, of gebruik GeoGebra of een grafische rekenmachine.
Vanaf 2020 komt het aantal konijnen vlak bij de $175$, dus dan moet het aantal vossen wel worden verkleind.

$\mathrm{0,68}$.

Noem die groeifactor $g$, dan is $g^2=\mathrm{0,68}$. En dus is $g=\sqrt{\mathrm{0,68}}\approx \mathrm{0,82}$. Dat is een afname van ongeveer $18$% per zes uur.

Noem die groeifactor $g$, dan is $g^{12}=\mathrm{0,68}$ en $g=\sqrt[12]{\mathrm{0,68}}\approx \mathrm{0,97}$. Dat is een afname van ongeveer $3$% per uur.

Nog $\mathrm{0,92}$ mL vlak voor de injectie en dus $\mathrm{2,92}$ mL vlak erna.

Na $30$ uur: $\mathrm{2,92}\cdot \mathrm{0,82}\approx \mathrm{2,39}$ mL.
Aan het einde van de tweede dag (dus na $48$ uur) heeft de patiënt nog $\mathrm{2,92}\cdot {\mathrm{0,68}}^2\approx \mathrm{1,35}$ mL pijnstiller in zijn lichaam. Na een derde injectie wordt dit $\mathrm{3,35}$ mL.
Na $60$ uur heeft hij $\mathrm{3,35}\cdot \mathrm{0,68}\approx \mathrm{2,28}$ mL pijnstiller in zijn lichaam.

Doen, je krijgt een grafiek met verticale sprongen. Gebruik de gegevens uit deze opgave.

$1\cdot {\mathrm{1,0056}}^{123}\approx 2$

`1,5^(1/32) ~~ 1,0128` .
Je vindt dus ongeveer $\mathrm{1,28}$% per jaar.

Tussen 1959 en 1974 was de groei ongeveer $\mathrm{1,94}$% per jaar. Daarna was de groei van 1974 tot 1987 ongeveer $\mathrm{1,73}$% per jaar, van 1987 tot 1999 ongeveer $\mathrm{1,53}$% per jaar en van 1999 tot 2011 ongeveer $\mathrm{1,29}$% per jaar.

De wereldbevolking zal dan nog een tijd blijven stijgen, maar wel met een steeds kleiner percentage.

$2500\cdot 2^{\mathrm{10,5}}\approx 3620387$. Dat zijn meer dan $\mathrm{3,6}\cdot {10}^6$ transistoren. Dat is iets meer dan in de tabel.

$2500\cdot 2^{14}\approx 40960000$. Dat zijn bijna $41\cdot {10}^6$ transistoren. En ook dat lijkt te kloppen met de tabel.

$R=2500\cdot {\mathrm{1,414}}^t$

$R=2500\cdot {\mathrm{1,414}}^{40}\approx \mathrm{2,6}\cdot {10}^9$

Maak een tabel bij de formule die je hebt gemaakt. Je vindt dat dit omstreeks 2029 het geval zou moeten zijn.

Neem bijvoorbeeld $t$ in maanden met $t=0$ in april 2009. Dan zien de gegevens betreffende het aantal Facebookgebruikers $N$ er zo uit:

$t$	$0$	$15$	$43$
$N$	$200$	$500$	$955$

Als er sprake is van exponentiële groei dan zou voor de groeifactor $g$ per maand in de eerste $15$ maanden gelden: $g^{15}=\frac{500}{200}=\mathrm{2,5}$. En dat geeft $g\approx \mathrm{1,063}$. Voor maand $43$ krijg je dan $200\cdot {\mathrm{1,063}}^{43}\approx 2767$ miljoen gebruikers en dat is bij lange na niet gehaald.

Omdat je dan vrij snel aanloopt tegen de grootte van het aantal mensen op aarde. Nu neemt dat ook wel toe, maar lang niet zo snel als het aantal Facebookgebruikers in het begin van de wereldwijde introductie van Facebook.

$\mathrm{0,867}$

Per week: ${\mathrm{0,867}}^7\approx \mathrm{0,368}$.
Per uur: `0,867^(1/24) ~~ 0,994` .

`p = 2,103*0,867^t`

Maak een tabel of gebruik de formule en GeoGebra of een grafische rekenmachine. Voor het eerst op de $22$ste dag, dus het duurt `21` dagen.

Met groeifactor $2$, dus met `100` % per jaar.

`W = 4,9*2^t`

$\mathrm{39,2}\cdot 2^4=\mathrm{627,2}$ mln.