Exponenten en logaritmen > Exponentiële groei
123456Exponentiële groei

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Maak een tabel. In 2021 is het aantal inwoners verdubbeld.

b

c

Een grafiek die loopt vanaf ( 0 ; 9,5 ) en dan steeds iets steiler omhoog gaat.

Opgave 1
a

A = 200000 + 15000 t

b

c

d

e

De groeifactor per jaar ( maanden) is .
Noem je de groeifactor per maand , dan is .
De vergelijking kun je oplossen door de omgekeerde macht te gebruiken: .
De maandelijkse groei is dus ongeveer %.

Opgave 2
a

Maak eerst tabellen. Neem voor t de waarden 0, 5, 10, 15 en 20.

b

Maak je tabel nauwkeuriger. In 2027 zijn er in land B voor het eerst meer leden, namelijk ongeveer 458000 terwijl er in land A dan 455000 leden zijn.

Opgave 3
a

b

en dat is een groeipercentage van ongeveer 36,1% per jaar.

c

d

Je vindt nu ongeveer 6138 zeehonden. Het verschil komt door de afrondingen.

Opgave 4
a

Doen, er zijn twee snijpunten.

b

Maak zelf de grafieken in GeoGebra en laat dit programma het snijpunt bepalen, of gebruik een grafische rekenmachine. Je vindt .

c

Dit lukt alleen als de groeifactor groter wordt. Vanaf een groeifactor van ongeveer 1,17.

d

Doen, ook nu zijn er twee snijpunten.

e

Maak zelf de grafieken in GeoGebra en laat dit programma het snijpunt bepalen, of gebruik een grafische rekenmachine. Je vindt .

Opgave 5
a
Tijd t 0 1 2 3 4 5 6 7 8
Aantal vlg Simonsz 40000 41500 43000 44500 46000 47500 49000 50500 52000
Aantal vlg Jansma 40000 41200 42436 43709 45020 46371 47762 49195 50671
b

N = 40000 + 1500 t

c

d

Op den duur zal de formule van mw. Jansma de meeste inwoners opleveren. Bij haar formule komt er jaarlijks een steeds groter aantal bij.

e

Verdubbeling bij Simonsz: 40000 + 1500 t = 80000 geeft met de balansmethode jaar.
Verdubbeling bij Jansma: geeft met behulp van GeoGebra of een grafische rekenmachine jaar.
Volgens de formule van mw. Jansma is het aantal inwoners het eerst verdubbeld.

Opgave 6
a

Je trekt telkens de aantallen inwoners van twee opeenvolgende jaren van elkaar af. Daar komt steeds ongeveer 1500 uit. De getallen verschillen wel wat van jaar tot jaar, maar gemiddeld klopt dit wel ongeveer. In een grafiek ziet het er ook redelijk uit als een rechte lijn.

b

De beginhoeveelheid is 79600 op t = 0 en er komen jaarlijks ongeveer 1500 inwoners bij.

c

Je deelt telkens de aantallen inwoners van twee opeenvolgende jaren op elkaar. Daar komt steeds ongeveer 1,025 uit. De getallen kunnen wel wat van jaar tot jaar verschillen, maar gemiddeld klopt dit wel ongeveer. In een grafiek zie je de steeds sterkere stijging.

d

De beginhoeveelheid is 72100 op t = 0 en er is een groeifactor per jaar van ongeveer 1,025.

e

Maak de tabellen verder af, of werk met GeoGebra of een grafische rekenmachine.

Opgave 7
a

Na het eerste uur is nog 51 60 = 0,85 deel over, na het tweede uur nog 43 51 0,84 en na het derde uur ook nog 37 43 = 0,86 . Gemiddeld is er een groeifactor van 0,85.

b

G = 60 0,85 t

c

Maak een tabel. Na 15 uur is dit het geval.

Opgave 8
a

g = 2 3 8 0,95

b

Uit 1200 = b 0,95 3 volgt b 1400 .

c

Uit 800 = b 0,95 11 volgt b 1406 . Het verschil zit hem in de afronding van de groeifactor.

Opgave 9
a

Per 11 - 3 = 8 tijdseenheden is er een afname van 1200 - 800 = 400 . Per tijdseenheid dus een afname van 50.
Bij deze lineaire functie past een formule van de vorm N = - 50 t + b . Nog even t = 3 en N = 1200 invullen en je krijgt de formule N = - 50 t + 1350 .

b

Lineaire functie: N = - 50 20 + 1350 = 350 .
Exponentiële functie: N = 1400 0,95 20 502

c

Uit - 50 t + 1350 = 0 volgt t = 27 . Het exponentiële groeimodel geeft dan N 350 .

d

Eigenlijk raakt de hoeveelheid N nooit op, elke keer is er nog 95% van de vorige hoeveelheid over. Maar op zeker moment zal de hoeveelheid zo klein zijn dat hij niet meer waarneembaar of meetbaar is.

Opgave 10
a

H = 160 1,15 t en op t = 10 geldt H 647 .

b

H = 160 + 15 t en op t = 10 geldt H 310 .

c

H = 160 0,85 t en op t = 10 geldt H 31 .

d

H = 160 - 15 t en op t = 10 geldt H 10 .

e

De groeifactor per dag bereken je uit g 7 = 1,15 . Je vindt g 1,02 .
De formule is dan H = 160 1,02 t en op t = 10 geldt H 195 .

f

De groeifactor per dag bereken je uit g 7 = 0,85 . Je vindt g 0,977 .
De formule is dan H = 160 0,977 t en op t = 10 geldt H 127 .

Opgave 11
a

Deze medewerker gaat uit van lineaire groei. Als je begint met 154000 inwoners in 2008 en je telt daar elk volgend jaar 2300 inwoners bij, dan krijg je voor 2009 precies 156300, voor 2010 158600 en voor 2011 160900 inwoners. En dat zou alleen aan de afrondingen kunnen liggen.

b

I = 2300 t + 154000

c

156300 / 154000 1,015 , 158700 / 156300 1,015 en 161000 / 158700 1,015 . Er is dus een groeifactor van 1,015 per jaar.

d

I = 154000 1,015 t

e

Bij de exponentiële groei wordt de jaarlijkse stijging van het aantal inwoners steeds groter, dus worden op den duur de bevolkingsaantallen erg groot. Bij lineaire groei is de stijging jaarlijks gelijk.

f

Lineaire groei: I = 2300 12 + 154000 = 181600 .
Exponentiële groei: I = 154000 1,015 12 184100 .

Opgave 12
a

Als je de opeenvolgende aantal vossen steeds op elkaar deelt, vind je telkens ongeveer 0,87 . De konijnen verminderen dus elk jaar ongeveer 13% in aantal.

a

.

c

Maak de tabel verder af, of gebruik GeoGebra of een grafische rekenmachine.
Vanaf 2020 komt het aantal konijnen vlak bij de 175, dus dan moet het aantal vossen wel worden verkleind.

Opgave 13

Per meter wordt 32,7% tegengehouden en dus dringt er 67,3% door. De groeifactor waar je mee rekent is dus 0,673. Neem 100 als beginhoeveelheid en los op:

100 0.673 t = 1

Maak een tabel en je merkt dat je tot iets minder dan 12 m diepte nog meer dan 1% blauw licht hebt.

Opgave 14
a

0,68.

b

Noem die groeifactor g, dan is g 2 = 0,68. En dus is g = 0,68 0,82. Dat is een afname van ongeveer 18% per zes uur.

c

Noem die groeifactor g, dan is g 12 = 0,68 en g = 0,68 12 0,97 . Dat is een afname van ongeveer 3% per uur.

d

Nog 0,92 mL vlak voor de injectie en dus 2,92 mL vlak erna.

e

Na 30 uur: 2,92 0,82 2,39 mL.
Aan het einde van de tweede dag (dus na 48 uur) heeft de patiënt nog 2,92 0,68 2 1,35 mL pijnstiller in zijn lichaam. Na een derde injectie wordt dit 3,35 mL.
Na 60 uur heeft hij 3,35 0,68 2,28 mL pijnstiller in zijn lichaam.

e

Doen, je krijgt een grafiek met verticale sprongen. Gebruik de gegevens uit deze opgave.

Opgave 15
a

1 1,0056 123 2

b

.
Je vindt dus ongeveer 1,28% per jaar.

c

Tussen 1959 en 1974 was de groei ongeveer 1,94% per jaar. Daarna was de groei van 1974 tot 1987 ongeveer 1,73% per jaar, van 1987 tot 1999 ongeveer 1,53% per jaar en van 1999 tot 2011 ongeveer 1,29% per jaar.

d

De wereldbevolking zal dan nog een tijd blijven stijgen, maar wel met een steeds kleiner percentage.

Opgave A1De wet van Moore
De wet van Moore
a

2500 2 10,5 3620387 . Dat zijn meer dan 3,6 10 6 transistoren. Dat is iets meer dan in de tabel.

b

2500 2 14 40960000 . Dat zijn bijna 41 10 6 transistoren. En ook dat lijkt te kloppen met de tabel.

c

R = 2500 1,414 t

d

R = 2500 1,414 40 2,6 10 9

e

Maak een tabel bij de formule die je hebt gemaakt. Je vindt dat dit omstreeks 2029 het geval zou moeten zijn.

Opgave A2Facebook
Facebook
a

Neem bijvoorbeeld t in maanden met t = 0 in april 2009. Dan zien de gegevens betreffende het aantal Facebookgebruikers N er zo uit:

t 0 15 43
N 200 500 955

Als er sprake is van exponentiële groei dan zou voor de groeifactor g per maand in de eerste 15 maanden gelden: g 15 = 500 200 = 2,5 . En dat geeft g 1,063 . Voor maand 43 krijg je dan 200 1,063 43 2767 miljoen gebruikers en dat is bij lange na niet gehaald.

b

Omdat je dan vrij snel aanloopt tegen de grootte van het aantal mensen op aarde. Nu neemt dat ook wel toe, maar lang niet zo snel als het aantal Facebookgebruikers in het begin van de wereldwijde introductie van Facebook.

Opgave T1
a

0,867

b

Per week: 0,867 7 0,368.
Per uur: .

c

d

Maak een tabel of gebruik de formule en GeoGebra of een grafische rekenmachine. Voor het eerst op de 22ste dag, dus het duurt dagen.

Opgave T2
a

Met groeifactor 2, dus met % per jaar.

b

c

39,2 2 4 = 627,2 mln.

verder | terug