Exponenten en logaritmen > Exponentiële groei
123456Exponentiële groei

Voorbeeld 1

Na jaren van terugloop is de populatie zeehonden in het Nederlandse deel van het Waddengebied gelukkig weer gestegen. Sinds juni 2008 is het aantal zeehonden in dit gebied maandelijks met 2,6% toegenomen. Ga ervan uit dat er op 1 juli 2008 1534 zeehonden waren.
Neem aan dat de groei van het aantal zeehonden in dit gebied een tijdlang zo doorgaat en stel een bijpassende formule op.
Bereken het aantal zeehonden op 1 januari 2013.

> antwoord

Omdat er per maand een vast percentage zeehonden bij komt, is er sprake van exponentiële groei. De groeifactor per maand is 1,026. Neem t = 0 op 1 juli 2008, dan is de beginhoeveelheid 1534.
Is het aantal zeehonden Z en de tijd in maanden t dan is een juiste formule .

Voor het aantal zeehonden op 1 januari 2013 geldt nu t = 54 . Vul je dit in de formule in, dan vind je .

Opgave 3

In het Voorbeeld 1 zie je hoe de populatie zeehonden in het Nederlandse deel van de Waddenzee groeit.

a

Bereken het aantal zeehonden op 1 januari 2009.

b

Hoeveel bedraagt de groeifactor per jaar? En het groeipercentage?

c

Stel een formule op voor het aantal zeehonden Z afhankelijk van de tijd t in jaren. Neem t = 0 op 1 januari 2009.

d

Bereken ook met de formule die je in c hebt gevonden het aantal zeehonden op 1 januari 2013. Verklaar het kleine verschil.

Opgave 4

In de Theorie zie je een applet waarin grafieken van lineaire groei en exponentiële groei met dezelfde beginhoeveelheid worden vergeleken.

a

Stel de functies en H 2 = 0,6 t + 4 in met behulp van de schuifbalkjes. Hoeveel snijpunten hebben de grafieken van deze functies?

b

Het éne snijpunt is uiteraard . Bepaal het tweede snijpunt in één decimaal nauwkeurig.

c

Als je de groeifactor van H 1 verandert, hebben de grafieken soms nog maar één snijpunt. Moet je de groeifactor daartoe groter of kleiner maken?

d

Stel de functies en H 2 = - 0,5 t + 4 in met behulp van de schuifbalkjes. Hoeveel snijpunten hebben de grafieken van deze functies?

e

Het éne snijpunt is uiteraard . Bereken met behulp van inklemmen het tweede snijpunt in één decimaal nauwkeurig.

Opgave 5

De afdeling bevolking van de gemeente Amsteldijk verwacht dat er eind van dit jaar zo’n 40.000 mensen in deze gemeente zullen wonen. Het gemeentebestuur hoopt dat het inwonersaantal nog verder zal uitbreiden omdat dit de mogelijkheid biedt om enkele voorzieningen te verbeteren.
Wethouder Simonsz zegt: "We streven er naar om elk jaar 1500 inwoners meer te hebben."
De burgemeester mw. Jansma hoopt echter elk jaar 3% meer inwoners te kunnen inschrijven dan het jaar ervoor.

a

Maak nu grafieken voor de bevolkingsgrootte voor de komende acht jaar. Eén die past bij de uitspraak van dhr. Simonsz en één die past bij de uitspraak van mw. Jansma.

b

Geef een passende formule voor het aantal inwoners N afhankelijk van de tijd t in jaren die past bij de uitspraak van wethouder Simonsz. Ga er van uit dat op t = 0 het aantal inwoners 40000 is.

c

Geef een passende formule voor het aantal inwoners N afhankelijk van de tijd t in jaren die past bij de uitspraak van burgemeester Jansma. Ga er van uit dat op t = 0 het aantal inwoners 40000 is.

d

Welk van beide formules levert op den duur de meeste inwoners op voor de gemeente Amsteldijk? Licht je antwoord toe.

e

Volgens welke formule is het aantal inwoners van Amsteldijk voor het eerst verdubbeld?

verder | terug