Exponenten en logaritmen > Exponentiële groei
123456Exponentiële groei

Toepassen

Als er iets is dat steeds sneller lijkt te groeien dan is dat wel het computergebruik en het internetverkeer. Het plaatje hiernaast laat daar iets van zien uit de beginjaren van het computertijdperk waarin we nu leven. De tabel symboliseert de "wet van Moore" . Daarbij moet je weten dat de zogenaamde "processor" (een minuscuul printplaatje, een chip) de hele rekenkracht van de computer vertegenwoordigde. Daarbij speelde het aantal transistoren dat men op zo'n processor kwijt kon een grote rol: hoe meer processoren, hoe groter de rekenkracht. In 1970 voorspelde Gordon Moore (één van de oprichters van chipsfabrikant Intel) dat het aantal transistoren dat men op zo'n processor kwijt kon elke 2 jaar zou verdubbelen. En hij kreeg gelijk...
Na 2000 werden er meerdere processoren gebruikt die samen de rekencapaciteit nog verder konden verhogen. Pas in de huidige tijd wordt er gewerkt aan andere technologieën voor computers en zal de wet van Moore wellicht ooit in het museum terecht komen.

Maar niet alleen de rekenkracht van de computer groeide exponentieel, ook het aantal gebruikers van internet, van Google, van Facebook, ..., groeide enorm. En het is niet duidelijk of de grenzen van die groei in zicht komen...

Opgave A1De wet van Moore
De wet van Moore

Bekijk de figuur Toepassen .

In 1972 introduceerde Intel de 8008 processor met 2500 transistoren. Ga uit van de wet van Moore dat elke 2 jaar het aantal transistoren op een processor verdubbelt.

a

In 1993 introduceerde Intel de Pentium-processor. Lag men met die processor nog op Moore's schema?

b

In 2000 kwam de Pentium 4. Paste die in de wet van Moore?

Zeker tot 2012 is de rekenkracht van een computer ongeveer elke twee jaar verdubbeld. Stel je voor dat R die rekenkracht voorstelt afhankelijk van t het aantal jaren na 1972. Op t = 0 is R = 2500 .

c

Stel een formule op voor R als functie van t.

d

Bereken hiermee de rekenkracht die een computer uit 2012 volgens de wet van Moore zou hebben.

e

Onderzoek in welk jaar die rekenkracht boven de 1 biljoen, dus boven 1 10 12 uit gaat komen volgens de wet van Moore.

Opgave A2Pasteurisatie
Pasteurisatie

Bij pasteurisatie wordt een vloeistof verwarmd om de bacteriën in de vloeistof te doden. In een vloeistof bevinden zich `100.000` ( `= 10^5` ) bacteriën die door pasteurisatie worden gedood. Bij het toegepaste pasteurisatieproces wordt per `20` seconden het aantal bacteriën gehalveerd.

a

Vul deze tabel verder in.

`t` (seconden) `0` `20` `40` `60` `80`
`A` (aantal) `100.000`
b

Geef een schatting na hoeveel seconden het aantal bacteriën onder de `1000` komt.

Bij het verband tussen het aantal bacteriën ( `A` ) en de tijd ( `t` ) in minuten van bovenstaand pasteurisatieproces past de formule:

`A = 100.000*(1/8)^t`

c

Leg de formule eens uit.

d

Bereken het aantal bacteriën na `4` minuten. Rond je antwoord af op een heel aantal.

e

Beredeneer hoeveel bacteriën er nog na `4` minuten zouden zijn als bij de pasteurisatie het aantal bacteriën iedere `30` seconden zou halveren (i.p.v. iedere `20`  seconden).

Opgave A3Leeglopen vloeistofvat
Leeglopen vloeistofvat

Een met vloeistof gevuld vat zal steeds langzamer leeglopen omdat de hoogte van de vloeistof afneemt waardoor de druk op de uitstroomopening afneemt. Het verloop is in onderstaande grafiek weergegeven. Hierin is `H` de waterhoogte in cm en `t` de tijd in seconden.

a

Bepaal met behulp van de grafiek de halveringstijd van de vloeistofhoogte.

Voor het verband tussen `H` en `t` geldt:

`H = H_0*(1/2)^(t/(tau_1))`

Hierin is `H_0` de waterhoogte op `t=0` .

b

Bepaal `H_0` en `tau_1` en geef de ingevulde formule.

c

Leg met behulp van de formule uit dat `tau_1` de tijd is waarbij de vloeistofhoogte is gehalveerd. En leg ook uit dat na `2*tau_1` seconden de vloeistofhoogte nog maar een kwart van de oorspronkelijke hoogte is.

d

Bereken na hoeveel seconden de vloeistofhoogte `6` cm bedraagt. Geef je antwoord in twee decimalen nauwkeurig.

De uitstroomopening wordt vernauwd en de bak loopt opnieuw leeg.
Voor `t=10` s geldt `H=10` cm.
De beginhoogte blijft hetzelfde. Nu geldt:

`H = H_0*(1/3)^(t/(tau_2))`

e

Bepaal `H_0` en `tau_2` en geef de ingevulde formule.

Henri beweert dat de formule van de vorige opdracht, met de vernauwde uitstroomopening, ook anders geschreven kan worden. Hij komt met de volgende formule:

`H = 30*3^(text(-)0,1t)`

e

Laat zien dat deze formule (ook) klopt. Doe dit op twee manieren: door te onderzoeken of de formule dezelfde uitkomsten geeft én door de formule te herleiden.

verder | terug