Exponenten en logaritmen > Exponentiële functiesVoorbeeld 1
De brandstof van kerncentrales bestaat uit staven uranium. Dit uranium wordt in de reactor omgezet naar plutonium. Deze stof zendt radioactieve straling uit met een halveringstijd van `10text(.)000` jaar. Omdat de tijd waarin de hoeveelheid plutonium halveert zo groot is, is het bewaren van dit radioactieve afval een probleem.
Hoe lang moet je `10` kg plutonium als radioactief afval opslaan om te zorgen dat er nog `1` kg van over is?
Neem je de tijd `t` in eenheden van één halveringstijd, dan is de hoeveelheid plutonium `P` in kg:
`P = 10*0,5^t`
Je hebt dan nog
`1`
kg over als
`10*0,5^t = 1`
.
Dat levert met GeoGebra op:
`t ~~ 3,32`
.
Je moet het plutonium dan ongeveer
`3,32 * 10000 = 33200`
jaar bewaren.
Je kunt ook de tijd
`t`
in jaren nemen.
Dan moet je eerst de groeifactor
`g`
per jaar berekenen vanuit de halveringstijd, dus vanuit:
`10*g^(10000) = 5` ofwel `g^10000 = 0,5` .
Je vindt `g = 0,5^(1/10000) = 0,9999306... ~~ 0,99993` . (Neem vooral veel decimalen.)
Vervolgens moet je oplossen
`10*0,99993^t = 1`
.
Je vindt dan
`t ~~ 33219`
jaar.
In
Waarom is er dan sprake van exponentieel verval?
Welke eenheid van tijd hoort er bij de formule `P = 10*0,5^t` ?
Welke horizontale asymptoot heeft deze formule?
Bereken zelf de groeifactor per jaar.
Ga met behulp van GeoGebra of de grafische rekenmachine na dat na
`33219`
jaar de hoeveelheid plutonium minder dan
`1`
kg is.
Bij het huidige groeitempo is de verdubbelingstijd van de wereldbevolking
`58`
jaar.
Eind 2011 bedroeg de wereldbevolking
`7`
miljard mensen.
Stel een formule op voor het aantal mensen
`N`
als functie van de tijd
`t`
.
Neem als tijdseenheid de verdubbelingstijd.
Na hoeveel jaar zouden er `10` miljard mensen op aarde zijn?
Stel ook een formule op voor `N` als functie van `t` in jaren.
Laat zien dat deze formule hetzelfde resultaat oplevert als bij b.