Exponenten en logaritmen > Exponentiële functies
123456Exponentiële functies

Uitleg

Hier zie je de grafiek van de exponentiële functie .
Er is sprake van exponentiële groei met beginwaarde en groeifactor . Elke toename van met betekent dat de hoeveelheid keer zo groot wordt. Elke afname van met betekent dat de hoeveelheid door wordt gedeeld. De uitkomsten naderen naar , maar blijven toch altijd positief. De lijn is de horizontale asymptoot van de grafiek.

Ook de functie is een exponentiële functie.
Maar nu is er van exponentiële groei geen sprake.
De grafiek van is omhoog geschoven.
De lijn is nu de horizontale asymptoot.

Bij is er sprake van een vaste verdubbelingstijd: hoe groot de hoeveelheid op zeker moment ook is, er telkens evenveel tijd nodig om het dubbele te krijgen, namelijk ongeveer tijdseenheden.
Bij is dat niet het geval.

Opgave 1

Bekijk de grafiek van de exponentiële functie in de Uitleg .

a

Hoe kun je aan de groeifactor zien dat de grafiek stijgend is?

b

Wat gebeurt er met de -waarde als met toeneemt?
En als met afneemt?

c

Wat gebeurt er met de -waarde als oneindig groot wordt?
En als oneindig klein (hele grote negatieve getallen) wordt?

d

Op welk tijdstip zit voor het eerst minder dan van af? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

e

Bereken de verdubbelingstijd die hoort bij deze exponentiële groei.

f

Laat zien dat deze verdubbelingstijd niet afhangt van de -waarde waar je mee begint.

Opgave 2

Bekijk de grafiek van de exponentiële functie in de Uitleg .

a

Hoe kun je aan de groeifactor zien dat de grafiek stijgend is?

b

Waarom is er nu geen sprake van exponentiële groei?

c

Wat gebeurt er met de -waarde als oneindig groot wordt?
En als oneindig klein (hele grote negatieve getallen) wordt?

d

Op welk tijdstip zit voor het eerst minder dan van de horizontale asymptoot af? Geef je antwoord in één decimaal nauwkeurig.

e

Waarom valt er nu geen verdubbelingstijd te berekenen?

Opgave 3

Neem eens aan, dat je een glas met water van °C in een kamer met een temperatuur van °C zet.
Volgens de warmtewet van Newton neemt het temperatuurverschil met de omgeving met een vast percentage per uur af. Neem aan dat dit met % per uur is.

a

Hoeveel graden is de watertemperatuur na uur?

Neem aan dat de temperatuur in °C en de tijd in uren is.

a

Waarom is de formule geen goede formule voor dit afkoelingsproces?

c

Bedenk een formule die wel past bij dit afkoelingsproces.

d

Is hier sprake van exponentiële afname, exponentieel verval?

verder | terug