Exponenten en logaritmen > Exponentiële functiesVoorbeeld 1
De brandstof van kerncentrales bestaat uit staven uranium. Dit uranium wordt in de reactor omgezet naar plutonium. Deze stof zendt radioactieve straling uit met een halveringstijd van `10.000` jaar. Omdat de tijd waarin de hoeveelheid plutonium halveert zo groot is, is het bewaren van dit radioactieve afval een probleem.
Hoe lang moet je `10` kg plutonium als radioactief afval opslaan om te zorgen dat er nog `1` kg van over is?
Neem je de tijd `t` in eenheden van één halveringstijd, dan is de hoeveelheid plutonium `P` in kg:
`P = 10*0,5^t`
Je hebt dan nog
`1`
kg over als
`10*0,5^t = 1`
.
Dat levert met GeoGebra op:
`t ~~ 3,32`
.
Je moet het plutonium dan ongeveer
`3,32 * 10000 = 33200`
jaar bewaren.
Je kunt ook de tijd
`t`
in jaren nemen.
Dan moet je eerst de groeifactor
`g`
per jaar berekenen vanuit de halveringstijd, dus vanuit:
`10*g^(10000) = 5` ofwel `g^10000 = 0,5` .
Je vindt `g = 0,5^(1/10000) = 0,9999306... ~~ 0,99993` . (Neem vooral veel decimalen.)
Vervolgens moet je oplossen
`10*0,99993^t = 1`
.
Je vindt dan
`t ~~ 33219`
jaar.
In Voorbeeld 1 wordt het verloop van de hoeveelheid plutonium in de loop van de tijd beschreven door een beginwaarde en een halveringstijd.
Waarom is er dan sprake van exponentieel verval?
Welke eenheid van tijd hoort er bij de formule `P = 10*0,5^t` ?
Welke horizontale asymptoot heeft deze formule?
Bereken zelf de groeifactor per jaar.
Ga met behulp van GeoGebra of de grafische rekenmachine na dat na
`33219`
jaar de hoeveelheid plutonium minder dan
`1`
kg is.
Bij het huidige groeitempo is de verdubbelingstijd van de wereldbevolking
`58`
jaar.
Eind 2011 bedroeg de wereldbevolking
`7`
miljard mensen.
Stel een formule op voor het aantal mensen
`N`
als functie van de tijd
`t`
.
Neem als tijdseenheid de verdubbelingstijd.
Na hoeveel jaar zouden er `10` miljard mensen op aarde zijn?
Stel ook een formule op voor `N` als functie van `t` in jaren.
Laat zien dat deze formule hetzelfde resultaat oplevert als bij b.