`80 *10^2=8000` en dat is `8*10^3` KVE/mL.
`t = 40`
geeft
`B = 2^(40/20) = 2^2 = 4`
`t = 60`
geeft
`B = 2^(60/20) = 2^3 = 8`
`t = 120`
geeft
`B = 2^(120/20) = 2^6 = 64`
Elke `20` minuten verdubbelt het aantal bacteriën. In een uur tijd wordt het aantal dus met `2*2*2=2^3=8` vermenigvuldigd.
De formule wordt `B = 8^t` .
Bij b hoorde bij
`t=120`
een aantal bacteriën van
`64`
.
Nu is dat
`B=8^2=64`
, want
`120`
minuten is
`2`
uur.
Met GeoGebra, Desmos of een rekenmachine vind je bij
`8^t = 6000`
voor
`t ~~ 4,184`
uur.
Dat is ongeveer
`4`
uur en
`11`
minuten.
`2 * 10^t = 5000`
geeft
`10^t = 2500`
en dus
`t = log(2500)`
.
Met de grafiek van
`y = 10^t`
(zie de applet) vind je
`t = log(2500) ~~ 3,40`
.
Je vindt
`t = log(1000) = 3`
.
En dat is nogal logisch, want
`10^3 = 10*10*10 = 1000`
.
Stel de schuifknop in op `1000` .
Als in `10^t = c` de `c` een macht van `10` is.
`log(10^3) = 3` en `3*log(10) = 3*1 = 3` .
`log(10^t) = t` en `t*log(10) = t*1 = t` .
Beide komen uit op
`0,093...`
.
Welke getallen je ook kiest, altijd klopt dit.
`log(g^t) = t*log(g)`
`4*1,5^t=2000`
geeft eerst
`1,5^t = 500`
.
Beide zijden 10-logaritme nemen:
`log(1,5^t) = log(500)`
.
Eigenschap gebruiken:
`t*log(1,5) = log(500)`
en dus is
`t = (log(500))/(log(1,5)) ~~ 15,33`
.
`t = \ ^(1,5)log(500)`
`t = \ ^(1,5)log(500) = (log(500))/(log(1,5)) ~~ 15,33`
`B = 6*5^t = 6000` geeft `5^t = 1000` en dus `t = \ ^5log(1000) = (log(1000))/(log(5)) ~~ 4,29` uur.
`6*5^t = 12` geeft `5^t = 2` en dus `t = \ ^5log(2) = (log(2))/(log(5)) ~~ 0,43` uur.
Let er op dat de variabele
`t`
in eenheden van tien dagen is.
De groeifactor is dan per
`10`
dagen gelijk aan
`0,96`
en de beginhoeveelheid is
`3000`
.
De bijbehorende vergelijking wordt
`3000 *0,96^t = 2800`
.
Dit vereenvoudig je tot
`0,96^t = 14/15`
.
`t=\ ^(0,96)log(14/15) = (log(14/15))/(log(0,96)) ≈ 1,69`
De groeifactor is `1,2` .
Je moet het aantal `2` keer zo groot maken en je vermenigvuldigt elke tijdseenheid met `1,2` , dus moet `1,2^t = 2` .
`t = \ ^(1,2)log(2) = (log(2))/(log(1,2)) = 3,80178...`
Na
`3,8`
dagen is de hoeveelheid bacteriën nog nét niet verdubbeld.
Na vier dagen is de hoeveelheid verdubbeld.
`10^0 = 1`
, met zo'n groeifactor is er geen groei of afname.
Als in
`10^a`
de
`a`
negatief is, is
`10^a lt 10^0 lt 1`
en heb je met exponentiële afname te maken.
Omdat je dan bij het oplossen van vergelijkingen meteen de log-knop kunt gebruiken zonder delingen te maken.
Dat is twee keer de halveringshoogte: `h ~~ 2 * 4,63 ~~ 9,26` km.
Je moet nu oplossen:
`10^(text(-)0,065h) = 0,2`
.
Dit betekent:
`text(-)0,065h = log(0,2) ~~ text(-)0,699`
.
En dus:
`h ~~ (text(-)0,699)/(text(-)0,065) ~~ 10,75`
km.
Type
`10^(log(1,5))`
in en je vindt als antwoord
`1,5`
.
Verder is
`log(1,5)~~0,176`
.
`B = 4*1,5^t = 4*(10^(log(1,5)))^t ~~ 4 * (10^(0,176))^t = 4*10^(0,176t)`
Los op:
`4*10^(0,176t) = 150`
.
Je vindt
`10^(0,176t) = 37,5`
en dus
`0,176t = log(37,5) ~~ 1,574`
.
Dus:
`t ~~ (1,574)/(0,176) ~~ 8,94`
uur.
Er is meer dan
`150`
mg bacteriën als
`t le 8,84`
uur.
`3*7^t = 6000` geeft `7^t = 2000` en dus `t = \ ^7log(2000) = (log(2000))/(log(7)) ~~ 3,91` uur.
`3*7^t = 6` geeft `7^t = 2` en dus `t = \ ^7log(2) = (log(2))/(log(7)) ~~ 0,36` uur.
`10^x = 0,01` . En dus: `x = log(0,01) = text(-)2` .
`2^x = 60` . Hieruit volgt: `x = \ ^2log(60) = (log(60))/(log(2)) ≈ 5,9`
`0,8^t = 0,5` . Hieruit volgt: `t = \ ^(0,8)log(0,5) = (log(0,5))/(log(0,8)) ≈ 3,1`
`t = \ ^2log(3) = (log(3))/(log(2)) ≈ 1,58`
uur.
Na ongeveer
`1`
uur en
`35`
minuten heeft de kolonie zich verdrievoudigd.
De verdubbelingstijd is `\ ^(1,003)log(2) = (log(2))/(log(1,003)) ≈ 231` jaar.
`t = \ ^(0,93)log(0,5) ≈ 9,55` jaar
`400 → 200 → 100 → 50`
Hieruit volgt dat er drie halveringstijden zijn en dat geeft
`3*9,55 ~~ 28,7`
jaar.
`50*0,93^t` |
`=` |
`10` |
|
`0,93^t` |
`=` |
`0,2` |
|
`t` |
`=` |
`\ ^(0,93)log(0,2) ≈ 22,18` |
Dit is ongeveer `22` jaar en `2` maanden.
Los op:
`T = 60*0,93^t + 20 = 30`
.
Dit geeft
`60*0,93^t = 10`
en dus
`0,93^t = 1/6`
zodat
`t = \ ^(0,93)log(1/6) = (log(1/6))/(log(0,93)) ~~ 24,7`
.
Dus na
`25`
minuten is dat het geval.
`0,93^t = 0,5` geeft als halveringstijd `t = \ ^(0,93)log(0,5) ~~ 9,55` minuten.
De formule is .
Als
`t = 5`
geldt
`T=15`
, dus
`15 = 20 - 14*g^5`
.
Hieruit volgt:
`g = (5/14)^(1/5) ~~ 0,81`
.
De formule wordt ongeveer
`T = 20 - 14*0,81^t`
.
`T = 20 - 14*0,81^t = 18`
geeft
`0,81^t = 2/14`
en dus
`t = \ ^(0,81)log(2/14) ~~ 9,23`
.
Dus na
`10`
minuten is dat het geval.
`x = \ ^4 log(35/6) ≈ 1,27`
`t = \ ^(1,08) log(12/7) ≈ 7,00`
`t = \ ^(0,85) log(1/15) ≈ 16,7` . Dus na `17` keer spoelen.