Exponenten en logaritmen

Exponenten en logaritmen > Logaritmische functies

Overzicht

123456Logaritmische functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

Zie de figuur.

De lijn $y=x$ .

De grafiek van $y=log(x)$ heeft de $y$ -as als asymptoot.

De grafiek van $y=10^x$ heeft de $x$ -as als asymptoot.

Neem b.v. $x=3$ : $log(10^3) = log(1000) = 3$ en $10^(log(3))=10^(0,477...)=3$ .

Opgave 1

$(1, 10)$

Bijvoorbeeld: $(0, 1)$ en $(1, 0)$ of $(2, 100)$ en $(100, 2)$

Voor bijvoorbeeld $3$ in $y_1$ in en je krijgt $10^3 = 1000$ .
Voer deze $1000$ in $y_2$ in en je krijgt $log(1000) = 3$ .

Als je in $log(x) = 3$ beide zijden een exponentiële functie met grondtal $10$ toepast, krijg je $x = 10^3$ omdat deze functie aan de linkerkant de logaritme wegwerkt. Dus de oplossing van $log(x)=3$ is $x=10^3=1000$ .

In de grafiek zie je nu dat $log(x) le 3$ als oplossing heeft $0 lt x le 1000$ .

Opgave 2

Voer in een grafische rekenmachine in: $y_1=2^x$ en $y_2=(log(x))/(log(2))$ of $y_2 = log_2(x)$ .

Voer in GeoGebra in: $y_1=2^x$ en $y_2=log(2,x)$ .

Venster bijvoorbeeld: $text(-)5 le x le 10$ en $text(-)5 le y le 10$ .

$(2, 4)$

Bijvoorbeeld: $(0, 1)$ en $(1, 0)$ of $(1, 2)$ en $(2, 1)$

$\ ^2log(x) = 3$ geeft $x = 2^3 = 8$ .

Grafiek: $0 lt x le 8$ .

$y=\ ^2log(x) = (log(x))/(log(2)) = 1/(log(2))*log(x) ~~ 3,32*log(x)$ .

Opgave 3

De verticale asymptoot is $x=0$ .

$\ ^ (1/2) log(x)$	$=$	$2$
$x$	$=$	$(1/2) ^2=1/4$

Dus voor $x=0,25$ .

$\ ^(1/2)log(x) = 3$ geeft $x = (1/2)^3 = 0,125$ .

Grafiek: $x ge 0,125$ .

$y=\ ^(1/2)log(x) = (log(x))/(log(1/2)) = 1/(log(1/2))*log(x) ~~ text(-)3,32*log(x)$ .

Opgave 4

Verticale asymptoot $x=0$ .

Je mag alleen $x$ -waarden invullen met $x gt 0$ .

$2,5*log(x) + 5 = 0$ los je zo op:

$2,5*log(x) + 5$	$=$	$0$	beide zijden $-5$
$2,5*log(x)$	$=$	$text(-)5$	beide zijden delen door $2,5$
$log(x)$	$=$	$text(-)2$	beide zijden exponentiële functie met grondtal $10$
$x$	$=$	$10^(text(-)2) = 0,01$

In de grafiek zie je dat de oplossing van de ongelijkheid is $0 lt x le 0,01$ .

Opgave 5

$y = 3*\ ^2log(x) - 1 = 3*(log(x))/(log(2)) - 1 = 3/(log(2))*log(x) - 1 ~~ 9,97*log(x)-1$ .

$9,97*log(x) - 1 = 4$ geeft $log(x) ~~ 0,502$ en dus $x~~10^(0,5017)~~3,1748$ .

Grafiek: $0 lt x le 3,17$ .

Opgave 6

Bijvoorbeeld zo:

$57 - 19log(p)$	$=$	$1$
$text(-)19log(p)$	$=$	$text(-)56$
$log(x)$	$=$	$56/19 ~~ 2,947$
$x$	$~~$	$10^(2,947) ~~ 886$

$h=0$ betekent $57 - 19log(p) = 0$ .

Dit los je net zo op als bij a:

$57 - 19log(p) = 0$ geeft $log(p) = 57/19 = 3$ en dus $p = 10^3 = 1000$ hPa.

Opgave 7

$h = \ ^(0,886)log(p/1013) = (log(p/1013))/(log(0,886)) = 1/(log(0,886))*log(p/1013) ~~ text(-)19*log(p/1013)$ .

$text(-)19*log(p/1013) = 0$ geeft $log(p/1013) = 0$ en dus $p/1013 = 10^0 = 1$ .
Hieruit volgt $p=1013$ hPa.

$h ge text(-)19*log(900/1013) ~~ 0,976$ km.

Opgave 8

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.

De $y$ -as.

$2*log(x) - 2,5 = 0$ geeft $log(x) = (2,5)/2 = 1,25$ , dus $x=10^(1,25)~~17,78$ .

Grafiek: $0 lt x lt 17,8$ .

Opgave 9

$h = 32,8*\ ^(0,9)log(p/1050) = 32,8 * (log(p/1050))/(log(0,9)) ~~ text(-)716,8*log(p/1050)$ .

Opgave 10

$21$	$=$	$1 +a*log(100 )$
$21$	$=$	$1 +2 a$
$a$	$=$	$10$

Voer in $y_1=1+10*log(x)$ .

Venster bijvoorbeeld $0 le x le 1500$ en $0 le y le 50$ .

$31$	$=$	$1 +10 *log(x)$
$log(x)$	$=$	$3$
$x$	$=$	$1000$

De ISO-waarde is $1000$ .

Opgave 11

$L = 75$ geeft $20*log(N)=202-4/3*75=202-100=102$ en dus $N = 10^(5,1) ~~ 125893$ .
$L = 70$ geeft $20log(N)=202-4/3*70~~202-93,3~~108,67$ en dus $N ~~ 10^(5,43)~~271227$ .
$271227$ is ruim $2$ maal zo veel als $125893$ .

$N = 500000$ geeft $202 - 4/3 L ≈ 113,98$ en daaruit volgt $L ≈ 66$ .

De waarde van $N$ geeft bij beide voorwaarden dezelfde waarde van $L$ , dus $202 - 4/3 L = 248 - 2 L$ . Deze vergelijking heeft als oplossing $L = 69$ .

Opgave A1

$B = 5,40$ geeft $N_(text(max)) ~~ 1605$ .
De weg voldoet niet aan de veilige norm.

$(8289,3 (1,778 - log(B)))/B = 0$ als $1,778 - log(B) = 0$ , dus als $log(B) = 1,778$ .
Dit betekent $B = 10^(1,778) ~~ 59,98$ m.
De formule van Gerlough heeft betekenis voor wegen van meer dan $0$ tot maximaal $59,98$ m.

Opgave A2

$1648 = (8289,3 (1,778 - log(B)) )/B$ kun je alleen oplossen met een grafische rekenmachine of GeoGebra.
Je moet dan wel flink uitzoomen om de grafieken van $y_1 = 1648$ en $y_2 = (8289,3 (1,778 - log(x) ))/x$ in beeld te krijgen. Ga na dat je $B ~~ 5,3$ vindt.

Bij $B = 5,30 - 0,50 = 4,80$ vind je $N_(text(max)) ~~ 1894$ .
Het maximale aantal auto's neemt met $1894 - 1648 = 246$ toe.

Opgave T1

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.

De $y$ -as.

$0 lt x le 10^6$ .

Opgave T2

$k≈125$ .

$G≈31,6$ kg.

verder | terug