Exponenten en logaritmen > Logaritmische functies
123456Logaritmische functies

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

Zie de figuur.

b

De lijn `y=x` .

c

De grafiek van `y=log(x)` heeft de `y` -as als asymptoot.

De grafiek van `y=10^x` heeft de `x` -as als asymptoot.

d

Neem b.v. `x = 3` : `log(10^3) = log(1000) = 3` en `10^(log(3)) = 10^(0,477...) = 3` .

Opgave 1
a

`(1, 10)`

b

Bijvoorbeeld: `(0, 1)` en `(1, 0)` of `(2, 100)` en `(100, 2)` .

c

Voer bijvoorbeeld `3` in `y_1` in en je krijgt `10^3 = 1000` .
Voer deze `1000` in `y_2` in en je krijgt `log(1000) = 3` .

d

Als je in `log(x) = 3` beide zijden een exponentiële functie met grondtal `10` toepast, krijg je `x = 10^3` omdat deze functie aan de linkerkant de logaritme wegwerkt. Dus de oplossing van `log(x)=3` is `x=10^3=1000` .

In de grafiek zie je nu dat `log(x) le 3` als oplossing heeft `0 lt x le 1000` .

Opgave 2
a

Voer in een grafische rekenmachine in: `y_1 = 2^x` en `y_2 = (log(x))/(log(2))` of `y_2 = log_2(x)` .

Voer in GeoGebra in: `y_1 = 2^x` en `y_2 = log(2,x)` .

Venster bijvoorbeeld: `text(-)5 le x le 10` en `text(-)5 le y le 10` .

b

`(2, 4)`

c

Bijvoorbeeld: `(0, 1)` en `(1, 0)` of `(1, 2)` en `(2, 1)` .

d

`\ ^2log(x) = 3` geeft `x = 2^3 = 8` .

Grafiek: `0 lt x le 8` .

e

`y=\ ^2log(x) = (log(x))/(log(2)) = 1/(log(2))*log(x) ~~ 3,32*log(x)` .

Opgave 3
a

De verticale asymptoot is `x=0` .

b

`\ ^ (1/2) log(x)`

`=`

`2`

`x`

`=`

`(1/2) ^2=1/4`

Dus voor `x = 0,25` .

c

`\ ^(1/2)log(x) = 3` geeft `x = (1/2)^3 = 0,125` .

Grafiek: `x ge 0,125` .

d

`y=\ ^(1/2)log(x) = (log(x))/(log(1/2)) = 1/(log(1/2))*log(x) ~~ text(-)3,32*log(x)` .

Opgave 4
a

Verticale asymptoot `x=0` .

Je mag alleen `x` -waarden invullen met `x gt 0` .

b

`2,5*log(x) + 5 = 0` los je zo op:

`2,5*log(x) + 5` `=` `0`

beide zijden `-5`

`2,5*log(x)` `=` `text(-)5`

beide zijden delen door `2,5`

`log(x)` `=` `text(-)2`

beide zijden exponentiële functie met grondtal `10`

`x` `=` `10^(text(-)2) = 0,01`

In de grafiek zie je dat de oplossing van de ongelijkheid is `0 lt x le 0,01` .

Opgave 5
a

`y = 3*\ ^2log(x) - 1 = 3*(log(x))/(log(2)) - 1 = 3/(log(2))*log(x) - 1 ~~ 9,97*log(x)-1` .

b

`9,97*log(x) - 1 = 4` geeft `log(x) ~~ 0,502` en dus `x ~~ 10^(0,5017) ~~ 3,1748` .

Grafiek: `0 lt x le 3,17` .

Opgave 6
a

Bijvoorbeeld zo:

`57 - 19log(p)` `=` `1`

`text(-)19log(p)` `=` `text(-)56`

`log(x)` `=` `56/19 ~~ 2,947`

`x` `~~` `10^(2,947) ~~ 886`
b

`h = 0` betekent `57 - 19log(p) = 0` .

Dit los je net zo op als bij a:

`57 - 19log(p) = 0` geeft `log(p) = 57/19 = 3` en dus `p = 10^3 = 1000` hPa.

Opgave 7
a

`h = \ ^(0,886)log(p/1013) = (log(p/1013))/(log(0,886)) = 1/(log(0,886))*log(p/1013) ~~ text(-)19*log(p/1013)` .

b

`text(-)19*log(p/1013) = 0` geeft `log(p/1013) = 0` en dus `p/1013 = 10^0 = 1` .
Hieruit volgt `p=1013` hPa.

c

`h ge text(-)19*log(900/1013) ~~ 0,976` km.

Opgave 8
a

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.

b

De `y` -as.

c

`2*log(x) - 2,5 = 0` geeft `log(x) = (2,5)/2 = 1,25` , dus `x = 10^(1,25) ~~ 17,78` .

Grafiek: `0 lt x lt 17,8` .

Opgave 9

`h = 32,8*\ ^(0,9)log(p/1050) = 32,8 * (log(p/1050))/(log(0,9)) ~~ text(-)716,8*log(p/1050)` .

Opgave 10
a

`21`

`=`

`1 + a*log(100 )`

`21`

`=`

`1 + 2a`

`a`

`=`

`10`

b

Voer in `y_1 = 1+10*log(x)` .

Venster bijvoorbeeld `0 le x le 1500` en `0 le y le 50` .

c

`31`

`=`

`1 + 10*log(x)`

`log(x)`

`=`

`3`

`x`

`=`

`1000`

De ISO-waarde is `1000` .

Opgave 11
a

`L = 75` geeft `20*log(N) = 202-4/3*75 = 202-100 = 102` en dus `N = 10^(5,1) ~~ 125893` .
`L = 70` geeft `20log(N) = 202-4/3*70 ~~ 202-93,3 ~~ 108,67` en dus `N ~~ 10^(5,43)~~271227` .
`271227` is ruim `2` maal zo veel als `125893` .

b

`N = 500000` geeft `202 - 4/3 L ≈ 113,98` en daaruit volgt `L ≈ 66` .

c

De waarde van `N` geeft bij beide voorwaarden dezelfde waarde van `L` , dus `202 - 4/3 L = 248 - 2 L` . Deze vergelijking heeft als oplossing `L = 69` .

Opgave A1Schaal van Richter
Schaal van Richter
a

`R = 0,67*log(1,2*10^19) - 3,21 ~~ 9,6`

b

`~~7,59*10^16` Joule.

c

`~~1918` keer zoveel.

Opgave A2Geluidsintensiteit en geluidsniveau
Geluidsintensiteit en geluidsniveau
a

`L = 0` dB.

b
`I` (W/m2) `10^(text(-)12)` `10^(text(-)11)` `10^(text(-)10)` `10^(text(-)9)` `10^(text(-)8)` `10^(text(-)7)` `10^(text(-)6)` `10^(text(-)5)` `10^(text(-)4)` `10^(text(-)3)` `10^(text(-)2)` `10^(text(-)1)` `10^0`
`L` (dB) `0` `10` `20` `30` `40` `50` `60` `70` `80` `90` `100` `110` `120`
c

Nee, `I` is niet uit te zetten in een lineair assenstelsel.

d

Lees dit in de tabel af.

Opgave T1
a

Gebruik GeoGebra, Desmos of een grafische rekenmachine.

b

De `y` -as.

c

`0 lt x le 10^6` .

Opgave T2
a

`k ≈ 125` .

b

`G ≈ 31,6` kg.

verder | terug