De hele op en neer gaande deel loopt (bijvoorbeeld) van
`0`
naar
`2 pi ~~ 6,28`
en herhaalt zich dan.
Dat dit precies
`2pi`
is, zie je in de
De symmetrieassen zitten bij `x = 1/2 pi + k*2pi` en bij `x = 1 1/2 pi + k*2pi` .
Vanwege de symmetrie bij `x = 1/2 pi` .
Met je rekenmachine (denk om radialen) vind je `x~~0,524` .
Aan de grafiek zie je dat er meerdere antwoorden zijn.
Binnen de "eerste" periode is het tweede antwoord (vanwege de symmetrie)
`x ~~ pi - 0,524 ~~ 2,618`
.
Rekening houdend met de periode vind je
`x~~0,524 + k*2pi vv x~~2,618 + k*2pi`
.
`(text(-)1,5pi; 1)`
`(text(-)0,5pi; text(-)1)`
`(0,5pi; 1)`
`(1,5pi; text(-)1)`
`(2,5pi; 1)`
`(3,5pi; text(-)1)`
`x = text(-)2pi`
`x = text(-)pi`
`x = 0`
`x = pi`
`x = 2pi`
`x = 3pi`
`x = 4pi`
Omdat de sinusgrafiek (als `x` alle waarden kan aannemen) symmetrisch is in de lijn `x = 1/2 pi` .
`x ~~ 0,644` rad.
`x ~~ 0,644 + k*2pi vv x ~~ pi-0,644 + k*2pi ~~ 2,450 + k*2pi`
`x ~~ 0,644 vv x ~~ 2,450 vv x ~~ 6,927 vv x ~~ 8,781 vv x ~~ 13,210 vv x ~~ 15,064 vv x ~~ 19,493`
`(text(-)2pi, 1)`
`(text(-)pi, text(-)1)`
`(0, 1)`
`(pi, text(-)1)`
`(2pi, 1)`
`(3pi, text(-)1)`
`(4pi, 1)`
`x = text(-)1,5pi`
`x = text(-)0,5pi`
`x = 0,5pi`
`x = 1,5pi`
`x = 2,5pi`
`x = 3,5pi`
Omdat de cosinusgrafiek (als `x` alle waarden kan aannemen) symmetrisch is in de lijn `x = 0` .
`x ~~ 0,927` rad.
`x ~~ 0,927 + k*2pi vv x ~~ text(-)0,927 + k*2pi`
`x ~~ 0,927 vv x ~~ 5,356 vv x ~~ 7,210 vv x ~~ 11,639 vv x ~~ 13,494 vv x ~~ 17,922 vv x ~~ 19,922`
Voer in
`y = sin(x)`
(radialen!) met
`0 le x le 6,5pi`
.
Bijvoorbeeld in GeoGebra via: Functie(sin(x),0,6.5pi).
Er zijn `3,25` periodes zichtbaar.
Binnen de eerste periode `sin(0,1) = sin(pi-0,1) ~~ sin(3,042)`
`sin(x) = sin(0,1)` als `x = 0,1 + k*2pi vv x ~~ 3,042 + k*2pi` .
Dus: `x = 0,1 vv x ~~ 3,042 vv x ~~ 6,383 vv x ~~ 9,325 vv x ~~ 12,666 vv x ~~ 15,608 vv x ~~ 18,950` .
`sin(text(-)0,1) = sin(pi-text(-)0,1) ~~ sin(3,242)`
`sin(x) = sin(text(-)0,1)` als `x = text(-)0,1 + 2kpi vv x ~~ 3,242 + 2kpi` .
Dus: `x ~~ 3,242 vv x ~~ 6,183 vv x ~~ 9,525 vv x ~~ 12,466 vv x ~~ 15,808 vv x ~~ 18,750`
Bijvoorbeeld `x ~~ 0,927` .
`sin(0,927) = sin(pi - 0,927) ~~ sin(2,214)`
Algemene oplossing: `x ~~ 0,927 + k*2pi vv x ~~ 2,214 + k*2pi` .
Binnen `text(-)2pi le x le 4pi` : `x ~~ text(-)5,356 vv x ~~ text(-)4,069 vv x ~~ 0,927 vv x ~~ 2,214 vv x ~~ 7,210 vv x ~~ 8,497`
Algemene oplossing: `x ~~ text(-)0,524 + k*2pi vv x ~~ 3,665 + k*2pi` .
Binnen `text(-)2pi le x le 4pi` : `x ~~ text(-)2,618 vv x ~~ text(-)0,524 vv x ~~ 3,665 vv x ~~ 5,760 vv x ~~ 9,948 vv x ~~ 12,043` .
Voer in
`y = cos(x)`
(radialen!) met
`text(-)0,5pi le x le 6,5pi`
.
Bijvoorbeeld in GeoGebra via: Functie(cos(x),-0.5pi,6.5pi).
Er zijn `3,5` periodes zichtbaar.
Binnen de eerste periode `cos(0,1) = cos(text(-)0,1)`
`cos(x) = cos(0,1)` als `x = 0,1 + k*2pi vv x = text(-)0,1 + k*2pi` .
Dus: `x = text(-)0,1 vv x = 0,1 vv x ~~ 6,183 vv x ~~ 6,383 vv x ~~ 12,466 vv` `x ~~ 12,666 vv x ~~ 18,750 vv x ~~ 18,950` .
Voor dezelfde waarden als bij b.
Bijvoorbeeld `x ~~ 0,644` .
Dat hangt er van af waar je een periode begint.
Neem je als periode `text(-)0,5pi le x le 1,5pi` , dan is `cos(text(-)0,644) = cos(0,644)` .
Neem je als periode `0 le x le 2pi` , dan is `cos(2pi - 0,644) = cos(5,640) = cos(0,644)` .
Algemene oplossing: `x ~~ 0,644 + k*2pi vv x ~~ text(-)0,644 + k*2pi` .
Binnen `text(-)2pi le x le 4pi` : `x ~~ text(-)5,640 vv x ~~ text(-)0,644 vv x ~~ 0,644 vv x ~~ 5,640 vv x ~~ 6,927 vv x ~~ 11,923`
Algemene oplossing: `x ~~ text(-)2,094 + k*2pi vv x ~~ 2,094 + k*2pi` .
Binnen `text(-)2pi le x le 4pi` : `x ~~ text(-)4,189 vv x ~~ text(-)2,094 vv x ~~ 2,094 vv x ~~ 4,189 vv x ~~ 8,378 vv x ~~ 10,472`
`x ~~ 0,358 + k*2pi vv x ~~ pi - 0,358 + k*2pi ~~ 2,784 + k*2pi`
Dus: `x ~~ 0,358 vv x ~~ 2,784 vv x ~~ 6,641 vv x ~~ 9,067` .
`x ~~ text(-)0,358 + k*2pi vv x ~~ pi - text(-)0,358 + k*2pi ~~ 3,499 + k*2pi`
Dus: `x ~~ text(-)2,784 vv x ~~ text(-)0,358 vv x ~~ 3,499 vv x ~~ 5,926` .
`x ~~ 1,047 + k*2pi vv x ~~ pi - 1,047 + k*2pi ~~ 2,094 + k*2 pi`
Dus: `x ~~ 1,047 vv x ~~ 2,094 vv x ~~ 7,330 vv x ~~ 8,378` .
`x ~~ text(-)0,785 + k*2pi vv x ~~ pi - text(-)0,785 + k*2pi ~~ 3,927 + k*2pi`
Dus: `x ~~ text(-)2,356 vv x ~~ text(-)0,785 vv x ~~ 3,927 vv x ~~ 5,498` .
`x ~~ 1,213 + k*2pi vv x ~~ text(-)1,213 + k*2pi`
Dus: `x ~~ text(-)1,213 vv x ~~ 1,213 vv x ~~ 5,070 vv x ~~ 7,496` .
`x ~~ 1,928 + k*2pi vv x ~~ text(-)1,928 + k*2pi`
Dus: `x ~~ text(-)1,928 vv x ~~ 1,928 vv x ~~ 4,355 vv x ~~ 8,212` .
`x ~~ 0,524 + k*2pi vv x ~~ text(-)0,524 + k*2pi`
Dus: `x ~~ text(-)0,524 vv x ~~ 0,524 vv x ~~ 5,760 vv x ~~ 6,807` .
`x ~~ 2,356 + k*2pi vv x ~~ text(-)2,356 + k*2pi`
Dus: `x ~~ text(-)2,356 vv x ~~ 2,356 vv x ~~ 3,927 vv x ~~ 8,639` .
`x = 1/2 pi + k*2 pi`
`x = 1 + k*2pi vv x = pi - 1 + k*2pi`
`x = sin(1) ~~ 0,841`
`x = k*2pi`
`x = 1 + k*2pi vv x = text(-)1 + k*2pi`
`x = cos(1) ~~ 0,540`
`x ~~ 0,571 + k*2pi vv x ~~ text(-)0,571 + k*2pi`
Kijk goed naar de symmetrie in je grafieken.
Antwoord:
`x = 1/4 pi + k*2pi vv x = 1 1/4 pi + k*2pi`
.
Dit kun je inkorten tot
`x = 1/4p i + k*pi`
.
In decimeter.
Bij
`x`
in graden is de periode
`360^@`
.
Bij
`x`
in radialen is de periode
`2pi`
.
De eenheden van
`h`
en
`x`
zijn goed vergelijkbaar, het zijn beide lengtes.
De grafiek komt gemakkelijker in beeld omdat de periode maar
`2pi`
is en geen
`360`
.
De formule wordt
`h = 100sin(x)`
.
De grafiek schommelt nu tussen
`text(-)100`
en
`100`
op en neer.
Nu past
`2pi`
radialen bij
`1`
seconde, dus
`x = 2pi*t`
.
De formule wordt
`h = 10*sin(2pi*t)`
.
Zie figuur.
De grafiek kan uit die van de standaardsinus worden afgeleid door eerst in de `y` -richting met `10` te vermenigvuldigen en dan in de `x` -richting met `1/(2pi)` te vermenigvuldigen.
Je kunt dit met GeoGebra of een grafische rekenmachine vinden. Je bepaalt dan de snijpunten van `y_1 = 10 * sin(2pi*x)` en `y_2 = 8` binnen één periode. Een mogelijk antwoord is `t ~~ 0,15 + k*1 vv t ~~ 0,35 + k*1` .
Dit geldt op
`x = 1/3 pi +k*2 pi vv x = 2/3pi +k*2 pi`
.
Op het gegeven gebied dus
`x = 20 1/3 pi vv x = 20 2/3 pi vv x = 22 1/3 pi vv x = 22 2/3 pi`
.
In decimalen:
`x ~~ 63,9 vv x ~~ 64,9 vv x ~~ 70,2 vv x ~~ 71,2`
.
`x ~~ 0,318 + k*2pi vv x ~~ text(-)0,318 + k*2pi`
`x ~~ 2,824 + k*2pi vv x ~~ text(-)2,824 + k*2pi`