De hoogte van punt
`P`
boven de stippellijn die door de as van de rotor gaat is
`8*sin(alpha)`
.
Daarin is
`alpha`
de draaihoek in radialen.
De hoogte van punt
`P`
boven de grond is dan
`h = 8*sin(alpha) + 28`
.
De periode van de draaiing is
`p=10`
s en in die tijd wordt
`2pi`
radialen afgelegd.
Na
`t`
seconden is dus
`alpha = (2pi)/(10) *t`
.
Door `d = 28` , de hoogte van de molen.
Het getal `a = 8` , de lengte van de wieken.
In de factor `(2pi)/(10)` .
Punt
`Q`
is steeds
`1/3*10`
seconde later op dezelfde hoogte als
`P`
.
De grafiek wordt dus
`10/3`
naar rechts verschoven.
De formule wordt
`h_Q = 10*sin((2pi)/(10)*(t-10/3)) + 28`
.
`h = 28`
`h` is maximaal `38` m bij `t = 1,25 + k*5` .
`h` is minimaal `18` m bij `t = 3,75 + k*5` .
`P` zit dan op `28` m boven de grond en rechts van `M` .
`h` wordt meteen groter als `t` toeneemt vanaf `t = 0` .
`h = 15*sin((2pi)/3*t) + 35`
Eerst vermenigvuldiging in de `t` -richting met `3/(2pi)` (de periode `3` seconden maken), dan vermenigvuldiging met `15` in de `h` -richting en tenslotte `35` omhoog verschuiven.
De amplitude is `15` m en de evenwichtsstand is `35` m.
`h = 15*sin((2pi)/3*t) + 35 = 25` geeft `15*sin((2pi)/3*t) = text(-)10` en dus `sin((2pi)/3*t) = text(-)2/3` .
Dit betekent dat `(2pi)/3 * t ~~ text(-)0,73 + k*2pi vv (2pi)/3 * t ~~ pi - text(-)0,73 + k*2pi` .
Dus `t ~~ text(-)0,35 + k*3 vv t ~~ 1,85 + k*3` .
Bijvoorbeeld vanaf
`t = text(-)0,35`
tot
`t = 1,85`
.
Dat is in totaal
`1,85 + 0,35 = 2,20`
seconden.
Net zoals de grafiek van `h` , maar `5/3` seconde naar rechts verschoven.
`h = 10*sin((2pi)/5 * (t - 5/3)) + 28`
Het hoogste punt dat het bakje kan bereiken is `21 + 20 = 41` m, de hoogte van de evenwichtsstand plus de straal van het rad.
Op `21 - 20 = 1` m hoogte.
Bekijk deze uitwerking binnen de periode `0 le t le 30` :
`20*sin((pi)/(15)*t) + 21` | `=` | `30` |
beide zijden `- 21` |
`20*sin((pi)/(15)*t)` | `=` | `9` |
beide zijden `// 20` |
`sin((pi)/(15)*t)` | `=` | `0,45` |
gebruik `arcsin` of `sin^(text(-)1)` (afh. van rekenmachine) |
`(pi)/(15)*t` | `~~` | `0,47 vv (pi)/(15)*t ~~ pi-0,47 ~~ 2,67` |
beide zijden `xx15` en `//pi` |
`t` | `~~` | `2,23 vv t ~~ 12,77` |
Dat is binnen de eerste periode tussen
`t~~2,23`
en
`t~~12,77`
.
Elke periode duurt het
`12,77-2,23 = 10,54`
seconden.
Er zijn `2` periodes zichtbaar.
Eerst een vermenigvuldiging in de
`t`
-richting met
`15/(pi)=30/(2pi)`
, ofwel de periode van
`2pi`
in
`30`
veranderen.
Daarna een vermenigvuldiging met
`20`
in de
`h`
-richting.
Tenslotte
`21`
verschuiven in de
`h`
-richting.
Omdat bij `t=0` het hoogste punt zit en dat is bij de standaard cosinusfunctie ook het geval.
Evenwichtsstand `h=8` cm en amplitude `190` cm.
`24/(12,58)~~1,91`
Op `t = 0` is het hoogwater, dat is 21 juni 2008 om 0:00 uur.
Om de `12,58` uur is het weer hoogwater.
Op 23 juni is dat voor het eerst op `4*12,58 - 48 = 2,32` uur, dus 2:19 uur en daarna om 14:54 uur.
Bekijk deze uitwerking binnen de periode `text(-)6 le t le 6` (halve dag):
`8 + 190*cos((2pi)/(12,58)*t)` | `=` | `100` |
beide zijden `- 8` |
`190*cos((2pi)/(12,58)*t)` | `=` | `92` |
beide zijden `// 190` |
`cos((2pi)/(12,58)*t)` | `=` | `0,484` |
gebruik `arccos` of `cos^(text(-)1)` (afh. van rekenmachine) |
`(2pi)/(12,58)*t` | `~~` | `1,066 vv (2pi)/(12,58)*t ~~ text(-)1,066` |
beide zijden `xx12,58` en `// 2pi` |
`t` | `~~` | `text(-)2,13 vv t ~~ 2,13` |
Het is binnen één periode ongeveer
`2,13 - text(-)2,13 = 4,26`
uur boven
`1`
m NAP.
Op één dag is dat
`8,52`
uur. Dat is 8:31,2 uur.
De periode is `(2pi)/1 = 2pi` , de amplitude is `12` , de evenwichtsstand is `y = 0` .
De periode is `(2pi)/(2pi) = 1` , de amplitude is `50` , de evenwichtsstand is `h = 10` .
De periode is `(2pi)/(pi/5) = 10` , de amplitude is `120` , de evenwichtsstand is `y = text(-)20` .
De periode is `(2pi)/2 = pi` , de amplitude is `20` , de evenwichtsstand is `P = 15` .
`x ~~ 2,524+k*2pi vv x ~~ 4,618+k*2pi`
`x ~~ 3,350 + k*15 vv x ~~ text(-)3,350 + k*15`
Voer in: `y_1 = 11+10*sin(pi/12 x)` .
Assen bijvoorbeeld: `0 le x le 24` bij `0 le y le 22` .
`11` is de hoogte van de as van het reuzenrad en `10` is de straal van het reuzenrad.
De periode is `24` seconden.
`h(t) = 18`
geeft
`sin((2pi)/24 t) = 0,7`
en
`arcsin(0,7) ~~ 0,775`
, daaruit volgt:
`pi/12 t ~~ 0,775 vv pi/12 t ~~ pi - 0,775`
en
`t ~~ 2,962 + k*24 vv t ~~ 9,038 +k*24`
.
Het bakje bevindt zich `6,1` seconden hoger dan `18` m.
De frequentie is `12` keer per minuut.
Een ademhaling duurt `60/12 = 5` seconden.
De amplitude is `0,25` .
De evenwichtsstand is `V=4,95` .
De periode is `5` seconden.
De longinhoud is maximaal als `t = 0, 5, 10, ... = k*5` s.
De longinhoud is halverwege een periode minimaal, dus als `t = 2,5 + k*5` seconden.
De periode is ongeveer `12,3` uur:
`b ~~ (2pi)/(12,3)`
Voer in: `y_1 = 0,5*sin(880π*x)` . Denk om radialen. De periode van zo'n trilling is `1/440` s, dus kies bijvoorbeeld voor de assen `0 le t le 1/220` bij `text(-)0,5 le u le 0,5` .
Bijvoorbeeld `u_2 = 0,3*sin(1760π*t)` .
Maak die grafiek met dezelfde instellingen als bij a. Voer in: `y_1 = 0,5*sin(880π*x)` , `y_2 = 0,3*sin(1760π*x)` en `y_3 = y_1 + y_2` .
Je krijgt nu geen sinusoïde, dus geen harmonische trilling.
De periode is `1/2` , de amplitude is `4` en de evenwichtsstand is `y = 0` .
Er is geen horizontale verschuiving.
De periode is `2 pi` de amplitude is `2` en de evenwichtsstand is `y = 6` . De grafiek is `8` eenheden naar links verschoven.
De periode is `4` de amplitude is `0,5` en de evenwichtsstand is `y=3` .
De grafiek is `1` eenheid naar links verschoven.
`pi*t=2pi`
geeft een omwentelingstijd
`t=2`
.
De wieken draaien in
`2`
seconden rond.
De wieken zijn `18` m lang en de draaias zit op `45` m hoogte.
Op de horizontale as:
`0 le t le 4`
.
Op de verticale as:
`27 le h le 63`
. (Vaak neem je liever iets als
`0 le h le 65`
.)
De tip is elke periode ongeveer `1,4` s zichtbaar.