Periodieke functies > Periode, amplitude en evenwichtsstandVoorbeeld 1
Je ziet hier een foto van het reuzenrad in het Prater in Wenen. Er bestaan reuzenraden van diverse afmetingen. Sommige zijn meer dan `150` m hoog.
`P` is de positie van een bakje van een reuzenrad. Voor de hoogte `h` van dit bakje boven de begane grond geldt:
`h = 20*sin((pi)/(15)*t) + 21`
waarin `t` de tijd in seconden is.
Leid de afmetingen van dit reuzenrad en de omwentelingstijd van het bakje af uit de
formule.
Bereken hoe lang je elke omwenteling meer dan
`30`
m boven de grond zit.
Van dit periodieke verschijnsel is de evenwichtsstand `h=21` en de amplitude `20` .
Dat betekent dat de straal van het reuzenrad `20` m is en de totale hoogte `21+20 = 41` m is.
De periode van
`y=sin(x)`
is
`2pi`
.
Voor de tijd
`t`
voor één omwenteling moet
`(pi)/(15)*t = (2pi)/(30)*t = 2pi`
.
Dit geeft voor de omwentelingstijd, de periode
`30`
s.
Je zit meer dan
`30`
m boven de grond als geldt
`20*sin((pi)/(15)*t) + 21 gt 30`
.
Je lost dus eerst op:
`20*sin((pi)/(15)*t) + 21 = 30`
.
Dit herleid je tot:
`sin((pi)/(15)*t) = 0,45`
.
Daarna werk je de sinus weg met behulp van je rekenmachine en los je de ongelijkheid
op met behulp van de grafiek.
Bekijk de formule van de hoogte
`h`
van een bakje van een reuzenrad boven de grond in
Leg uit waarom dit reuzenrad `41` hoog moet zijn.
Op welke hoogte moet je waarschijnlijk in het bakje instappen?
Los de vergelijking `20*sin((pi)/(15)*t) + 21 = 30` zelf stap voor stap op.
Bereken hoe lang je elke omwenteling meer dan `30` m boven de grond zit.
Bekijk de functie `h = 20*sin((pi)/(15)*t) + 21` met `0 le t le 60` .
Hoeveel periodes zijn zichtbaar?
Met welke transformaties kun je de grafiek van `h` laten ontstaan uit die van de standaard sinusfunctie?