Periodieke functies > TotaalbeeldToepassen
In 1610 werden de vier helderste Jupitermanen ontdekt door Galileï. De manen beschrijven bij benadering cirkelvormige banen om Jupiter, alle vier in dezelfde omlooprichting. Deze banen liggen (vrijwel) in één vlak met Jupiter en de aarde. Daarom zie je Jupiter en de vier manen in een kijker altijd op één horizontale lijn liggen. De onderlinge posities van de manen in het kijkerbeeld veranderen voortdurend. Voor amateurastronomen worden maandelijks grafieken gepubliceerd waaruit ze op ieder moment de posities van de manen kunnen aflezen. Zie hemel.waarnemen.com: Galileïsche manen van Jupiter, slingerdiagram september 2008. Het diagram op de website geeft informatie over de maand september in 2008. Deze slingerdiagrammen zijn vrijwel zuivere sinusoïden.
Voor Ganymedes bijvoorbeeld wordt deze harmonische beweging goed beschreven door `u_G = 15 sin((2 pi)/(7,2)(t - 10))` waarin `t` de tijd in dagen is met `t=1` op 1 september 2008 om 0:00 uur en `u` de uitwijking t.o.v. Jupiter gemeten in Jupiterstralen.
Zo kun je ook van de beweging van de drie andere Galileïsche manen een formule opstellen. En verder kun je op elk moment tekenen hoe je deze manen t.o.v. Jupiter vanaf Aarde ziet. Nog een leuke puzzel...
Op 1 september 2008 om 0:00 uur waren dus van links (west) naar rechts (oost) in de kijker te zien: Io (I, voor Jupiter), Europa (II), Ganymedes (III) en Callisto (IV). Hier zie je van de vier manen de posities op hun cirkelbanen op 1 september 2008 om 0:00 uur getekend.
Bekijk de gegevens van de Jupitermanen en de figuur van hun stand op 1 septmber 2008.
Teken zelf een figuur voor deze vier manen met het deel van de baan dat ze doorlopen van 1 september 0:00 uur tot 5 september 0:00 uur.
De diameter van Jupiter is ongeveer `142.980` km.
Hoe ver is Ganymedes gemiddeld van Jupiter verwijderd?
Hoeveel dagen doet Ganymedes over één omwenteling rond Jupiter?
In de kijker zie je de beweging van elk van die manen als een in de tijd veranderende uitwijking `u` ten opzichte van Jupiter op een horizontale as. Die uitwijking kan goed worden beschreven met een sinusoïde. `u` wordt uitgedrukt in veelvouden van de straal van Jupiter en `t` is in dagen. Voor Callisto geldt bij goede benadering `u(t) = 26 sin(0,378 (t - 7,5))` . (Hierbij is er van uit gegaan dat "West" een positieve waarde van `u` betekent en "Oost" een negatieve.)
Laat zien dat deze formule redelijk overeenkomt met de grafiek in het slingerdiagram
van september 2008.
Bereken met de formule de omlooptijd van Callisto.
Stel zo'n formule op voor de Jupitermaan Europa.
De manen zijn in de figuur naar verhouding veel te groot getekend. In werkelijkheid zijn het stipjes. Dus als `text(-)1 ≤ u ≤1` dan kunnen de manen achter Jupiter zitten.
Bereken met behulp van de formule voor Ganymedes hoe lang deze maan achter Jupiter zit.