Modelleren > Een model opstellen
123Een model opstellen

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1

In eerste plaats natuurlijk de hoogte van de toren. Daarbij komt het feit dat de aarde bol is. Om het zo uit te drukken, je kan niet over de evenaar heen kijken.

Het is natuurlijk ook belangrijk dat er niks in de weg van het blikveld staat, maar er wordt al gezegd dat de persoon vrij uitzicht heeft.

Opgave 1
a

Omdat de aarde een bolvorm heeft. Zie figuur.

b

Zie de figuur bij a. Je neemt aan dat de aarde een zuivere bolvorm heeft en dat er geen obstakels zijn.

c

`PQ` ligt op het verlengde van `MQ` omdat je naar het middelpunt wordt getrokken (zwaartekracht).

d

Deze driehoek is rechthoekig bij `R` . Een raaklijn aan een cirkel in een punt staat namelijk loodrecht op de straal naar dit punt.

e

Van `MR` en van `MQ` (straal van de cirkel). Beide lijnstukken hebben een lengte van `40000/(2pi) ~~ 6366,198` km.

f

`Delta MPR` is rechthoekig. Je weet `MR` (straal) en `MP` is de straal plus de ooghoogte. Met behulp van de stelling van Pythagoras kun je de kijkafstand `PR` uitrekenen.

Opgave 2
a

`a = sqrt((6366,198+0,050)^2 - 6366,198^2) ~~ 25,231` km

b

Kies daarvoor een variabele: `PQ = h` , neem `h` in km.

c

Je vindt: `a = sqrt((6366,198+h)^2 - 6366,198^2)` met `a` en `h` in km.
Met behulp van deze formule kun je een tabel maken, waarin je de kijkafstand kunt aflezen voor verschillende waarden voor `h` .

d

Haakjes wegwerken geeft: `a = sqrt((6366198+h)^2 - 6366198^2)= sqrt(h^2 + 12732396h)` .
Omdat `h` een getal zal zijn dat kleiner is dan zeg `200` m, is `h^2` te verwaarlozen (ten opzichte van `12732396h` ). Dus: `a ~~ sqrt(h^2 + 12732396h) ~~ 3568sqrt(h)`

Opgave 3
a

`a` is nu een deel van de omtrek van de aarde. De hoek `QMR` bepaalt de grootte ervan. Voor die hoek geldt: `cos(angleQMR) = (6366198)/(6366198 + h)`

b

Je kunt nu bij een bepaalde waarde van `h` de grootte van `angleQMR = alpha` berekenen. Dan is `a = (alpha)/360 * 40000000 ~~ 111111 * alpha` m.

c

Eigen antwoord. Merk op dat de kijkafstand bij de tweede methode anders is dan bij de eerste methode.

Opgave 4
a

Ongeveer `298` seconden.

b

Lopen gaat veel sneller dan zwemmen.

c

Ongeveer `213` s.

d

Ongeveer `209` s.

e

Die tijdsduur is `T = x/5 + (sqrt((400-x)^2 + 200^2))/(1,5)` .

f

Bereken met behulp van een grafiek van `T` bij welke `x` de tijdsduur minimaal is.

Je vindt dat bij `x~~207` de tijdsduur minimaal is.

Opgave 5
a

Aannames:

  • De waterlijn is recht en je kunt meteen zwemmen als je in het water komt.

  • De zwemmer (punt `Z` ) is `200` m uit de kust loodrecht gerekend vanaf een punt `B` dat `400` m van je (punt `A` ) af is.

  • Je loopt met bijvoorbeeld `18` km/uur en zwemt met `5,4` km/uur.

b

Eerst de tijdsduur bij alleen zwemmen.
Daarna de tijdsduur bij de volle `400` m lopen en dan `200` m zwemmen.

c

In de opgave is `AP = x` gekozen, je kon bijvoorbeeld ook `PB = x` kiezen, beide in m. Verder is `T` de tijdsduur in s.
Maar je kunt ook nog meer variabelen invoeren: voor de loopsnelheid `v_L` , de zwemsnelheid `v_Z` en voor de afstanden `AB = a` , `BZ = b` .

d

Een formule voor `T` . Maar je kunt ook `T` laten afhangen van `a` , `b` , `v_L` en `v_Z` .

e

Je kunt de zwemmer in nood vervangen door een boei in het water en dit bij mooi weer uitproberen. Afhankelijk van de situatie zul je merken dat er waarschijnlijk meer factoren een rol spelen (zoals stroming, diepte van het water, enzovoort).

Opgave 6
a

Aannames:

  • De windkracht is een variabele die voor de hele luchtstroom langs de wieken dezelfde waarde heeft.

  • Voor het vermogen geldt `P = c * m * v^2` , een natuurkundige formule.

  • De luchtdichtheid is een constante.

b

`1/4 pi D^2` is de oppervlakte van een cirkel met een straal van `r = 1/2D` .
`P = c * m * v^2 = c * 1/4 pi D^2 * v * rho * v^2 = C * v^3 * D^2` met `C=c*1/4pi*rho`

c

Modelcyclus:

  • Probleemstelling: de keuze van de variabelen `D` , `v` en `P` ; de hoogte van de molen speelt geen rol.

  • Modelleren: bekende natuurkundige formule gebruiken `P = c * m * v^2` en `m` is te berekenen door te berekenen hoeveel lucht per seconde door een cilinder met hoogte `v` gaat met de eerder genoemde aannames.

  • Rekenen (met variabelen): de formule `P = C * v^3 * D^2` maken door formules te combineren.

  • Terugkoppelen: een test verzinnen om je model te controleren (door veranderingen in luchtdichtheid en windsnelheid is het misschien zo dat de hoogte van de molen uiteindelijk wel een rol speelt).

d

Het vermogen meten bij bepaalde waarden van de windsnelheid en rotordiameter.

Opgave 7
a

Zie figuur.

Aannames zijn bijvoorbeeld dat de zeebodem vlak is en keurig met de ronding van de aarde meeloopt, dat de tunnel kaarsrecht kan zijn (in werkelijkheid moet je eerst schuin de grond in), dat begin- en eindpunt in beide situaties dezelfde kunnen zijn, enzovoort.

b

De halve lengte van de rechte kabel bereken je in bijvoorbeeld de rechthoekige driehoek `MBN` .

`angle M=150/40000 * 360°` en `MB=40000/(2pi)` km

De lengte van kabel is: `2*BN=2*40000/(2pi) * sin(1,35°) ~~ 299,972` km

c

De rechte kabel is dus nauwelijks korter dan de kabel over de zeebodem, het scheelt ongeveer `28` m. De aanleg daarvan zal wel veel duurder zijn, dus dit is niet verstandig om te doen.
Omdat de aannames de zaak waarschijnlijk te rooskleurig voorstellen, zul je zelfs een langere kabel nodig hebben. En dan is het verschil wellicht nog kleiner. Hoewel dat niet zeker is, want ook de kabel over de zeebodem zal waarschijnlijk geen mooie cirkelboog hebben.

Opgave 8
a

Aannames:
De benzineauto verbruikt `8` L per `100` km en de dieselauto `6` liter per `100` km. De kosten voor één liter benzine zijn € 1,60 en voor één liter diesel € 1,24. Daarnaast is de dieselversie jaarlijks € 1200,00 duurder (wegenbelasting, afschrijvingskosten en dergelijke). Deze aannames hangen sterk af van de actuele situatie.
Variabelen zijn het aantal gereden km per jaar en de kosten per jaar.

Model (passend bij deze aannames):
`x` is het aantal gereden km per jaar en `a` zijn de vaste kosten per jaar van de benzineauto.
Benzineauto: kosten per jaar `KB = 0,08 * 1,60* x + a`
Dieselauto: kosten per jaar `KD = 0,06 * 1,24 * x + a + 1200`
De kosten zijn gelijk als: `0,08 * 1,60 * x + a = 0,06 * 1,24 * x + a + 1200`

b

Als de gebruiker meer dan `22388,1` km per jaar rijdt, dan is de dieselversie goedkoper, anders de benzineversie.

c

Er zijn bronnen genoeg (zoals het Centraal Bureau voor Statistiek) die een idee geven van hoeveel kilometer automobilisten gemiddeld per jaar rijden. Dit is op zich een goed punt om te beginnen.

Opgave 9

Stap 1:
Je beweegt als gevolg van de draaiing van de aarde, ook als je stilstaat op het aardoppervlak. (Trouwens ook als gevolg van de beweging van de aarde om de zon, de zon om het centrum van het sterrenstelsel en het sterrenstelsel ten opzichte van andere sterrenstelsels.)
Waar je op aarde zit, bepaalt de snelheid. Op de Noordpool is die snelheid `0` . Je hebt dus de breedtegraad van Amsterdam nodig. De breedtegraad kan een variabele zijn. Er is dan een verband tussen de plek op aarde, de breedtegraad en de snelheid waarmee je beweegt.

Stap 2:
Aannames zijn bijvoorbeeld dat de aarde zuiver rond is en de aardas (Noordpool naar Zuidpool) een middellijn van een bol is. De omtrek van de aarde is `40000` km.

Stap 3:
Je kunt dan aantonen dat je elke dag ( `24` uur) een cirkel aflegt met een straal van `(40000/(2pi)) * cos(alpha)` km waarin `alpha` de breedtegraad is van de plek waar je staat. Teken daartoe een dwarsdoorsnede van de aarde (een cirkel) en geef er de breedtegraad (de draaihoek vanaf het vlak door de evenaar) in. Voor Amsterdam ( `52,37` graden) betekent dit een straal van ongeveer `3886,95` km en daarom een afstand van ongeveer `24422,40`  km per `24` uur, dat is ongeveer `1018` km/uur. In het algemeen is de snelheid waarmee je beweegt: `(40000/(2pi)) * cos(alpha) * (2pi)/24 ~~ 1667 cos(alpha)` km/uur

Stap 4: Het controleren hiervan is natuurlijk niet eenvoudig, maar je zou kunnen kijken naar de zon (die in dit model in feite stilstaat). In een uur tijd lijkt de zon een zekere afstand langs de hemel af te leggen als gevolg van de draaiing van de aarde (als je het bewegen van de aarde om de zon even verwaarloost). Door die afgelegde afstand te meten en de (gemiddelde) afstand van de aarde tot de zon te gebruiken zou je de draaisnelheid van de aarde op jouw plek moeten kunnen benaderen.

Opgave 10

Stap 1:
Afstanden worden geschaald, de tijd echter niet.

Stap 2:
Doe eerst een aanname v.w.b. de schaal, probeer hem door meten in de foto te schatten, of zoek op wat HO-spoor voor schaal heeft. De schaal van het treintje is ongeveer `1:87` .

Stap 3:
Een snelheid van `60` km/uur betekent dat een echte trein in een uur `60` km aflegt. Het model moet dan in een uur `60/87 ~~ 0,69` kilometer afleggen. Dat is ongeveer `0,69` km/uur.

Stap 4:
Probeer te meten hoe snel een trein van een modelspoorbaan beweegt. En vraag je af of je die beweging natuurlijk lijkt.

Opgave 11
a

ongeveer `167133` kg

b

minimaal `0,064` kg/m3

c

`0,01107`

d

De vleugelbelasting wordt `1,96` keer zo groot.

Opgave A1
a

Vanuit het midden van een weg is de afstand tot een lamp `sqrt(h^2+(0,5a)^2+(0,5b)^2)` (gebruik de stelling van Pythagoras zoals in een balk waarvan je de lengte `a` , de breedte `b` en de hoogte `h` weet). Omdat je dan midden tussen vier lampen zit, geldt:

`L = 4 * (P/(h^2 + (0,5a)^2 + (0,5b)^2)) `

b

`P/(h^2) le 320` en `10 le 4 * (P/(h^2 + (0,5a)^2 + (0,5b)^2))`

Opgave A2
a

De jaarlijkse schoonmaakkosten en dergelijke per lantaarnpaal zijn € 200,00.

Per meter lantaarnpaal zijn de kosten € 50,00. Dus per lantaarnpaal zijn de kosten `50h` .

De kosten zijn € 0,15 per kWh en de brandtijd is `B` , dus de totale kosten hiervoor zijn: `B*P/1000*0,15`

Er zijn `2 * 1/a` palen per meter weg.

Dus `K = 2 * 1/a * (200 + 50h + B * P/1000 * 0,15)`

b

Eigen antwoord.

Opgave T1
a

De afstand `45` meter wordt afgelegd in `45/80000` uur. Dit is `45/80000 * 3600 = 2,025` seconden. Dit is iets meer dan `2` seconden, dus de auto's voldoen hieraan.

b

`k = 250 * (1 - 72/88) ~~ 45,4545` , dus `q ~~ 72 * 45,4545` , dus ongeveer `3273` auto's per uur.

c

Uit `k = 250 * (1 - v/160)` volgt `q = v * 250 * (1 - v/160) = 250v - 1,5625v^2` .

Door de top van de bijbehorende dalparabool te berekenen vind je voor de snelheid waarbij `q` maximaal is `v = 80` km/h.

verder | terug