Modelleren > Een model opstellen
123Een model opstellen

Uitleg

Probleem:
"Iemand staat op een toren en heeft een vrij uitzicht. Hoe ver kan hij (theoretisch) over het aardoppervlak kijken?"

Om zo'n probleem op te kunnen lossen, maak je een bijbehorend model.

Een model is een vereenvoudiging van de werkelijkheid. Hierin zijn nog alle eigenschappen terug te vinden die belangrijk zijn voor de beschrijving van een bepaald verschijnsel dat je wilt verklaren, of het probleem dat je wilt oplossen. Het bewust opstellen van zo'n model noem je modelleren. Bij het modelleren volg je een aantal vaste stappen. Probeer eerst zelf een oplossing voor het probleem te vinden.

Opgave 1

Bekijk het probleem in de uitleg. De volgende vragen kunnen je helpen om de oplossing van dit probleem te vinden. Dergelijke vragen moet je jezelf ook altijd stellen als je de oplossing van een probleem niet meteen ziet. Als eerste ontwerp je een rekenmodel.

a

Waarom kan hij niet oneindig ver kijken, ook als er geen obstakels in de weg staan? Maak een schets om je antwoord toe te lichten.

b

Hoe heb je in je figuur de afstand die hij kan kijken aangegeven? Welke vereenvoudigingen heb je nu al toegepast?

Waarschijnlijk bestaat je figuur uit een (deel van een) cirkel die een doorsnede van het aardoppervlak voorstelt. En daarop een lijnstukje dat de hoogte van de ogen van de persoon voorstelt die vanaf de toren boven het aardoppervlak kijkt. Als dat niet zo is, maak dan alsnog een dergelijke figuur. Noem het middelpunt van de cirkel `M` en het lijnstuk (dat degene die kijkt voorstelt) `PQ` , met `Q` op het aardoppervlak.
Punt `R` is een punt op het aardoppervlak dat de persoon die kijkt nog net kan zien. Geef zo'n punt in je figuur aan.

c

Waarom moet `PQ` op het verlengde van `MQ` liggen?

d

Welke eigenschap heeft driehoek `MPR` ? Probeer daar een verklaring voor te vinden.

e

De omtrek van de aarde is `40000` km. Van welke lijnstukken kun je nu de lengte berekenen? Bereken deze lengtes.

f

Hoe kun je het probleem verder oplossen?

Opgave 2

Iemand doet het volgende voorstel om het probleem in de uitleg op te lossen:

Kies voor de lengte van `PQ` (de hoogte van de ogen van de persoon die kijkt boven het aardoppervlak) een bepaalde waarde, bijvoorbeeld `50` m. Verder is de kijkafstand `PR` en die afstand geef je de letter `a` . Vervolgens pas je de stelling van Pythagoras toe in `Delta MPR` .

a

Je kunt daarmee `a` uitrekenen. Doe dat.

De ooghoogte van de persoon die kijkt boven het aardoppervlak hoeft niet `50`  m te zijn.

b

Hoe kun je daarmee rekening houden?

c

Probeer nu een volledige oplossing van het probleem te beschrijven. Je kunt daarbij werken met variabelen en een formule. Maar je kunt ook werken op de computer met bijvoorbeeld Excel.

Vaak wordt de formule `a = 3568 * sqrt(h)` gebruikt voor de kijkafstand, met `a` en `h` in m.

d

Probeer die formule af te leiden uit jouw eigen formule.

Opgave 3

Iemand anders vindt dat de kijkafstand de afstand over het aardoppervlak is. Hij doet het volgende voorstel om het probleem in de uitleg op te lossen:
Kies voor de lengte van `PQ` (de hoogte van de ogen van de persoon die kijkt boven het aardoppervlak) de letter `h` (m). Verder is de kijkafstand de lengte van de boog `QR` en die geef je de letter `a` . De lengte van die boog wordt bepaald door de grootte van hoek `QMR` . En die kun je uitrekenen in driehoek `MPR` .

a

Beschrijf nu hoe je `a` kunt berekenen.

b

Waarom is nu het probleem opgelost?

c

Welke methode vind je het beste om het vraagstuk op te lossen?

verder | terug