In de
De lengte is `2400/30 = 80` m. De oppervlakte wordt: `(30 + 20 + 10)(80 + 10 + 10) = 6000` m2.
De breedte is dan `2400/80 = 30` m. De oppervlakte wordt: `(30 + 10 + 10)(80 + 20 + 10) = 50 * 110 = 5500` m2. En dat is kleiner.
De andere afmeting is dan `2400/x` m en de oppervlakte wordt: `A(x) = (x + 10 + 10)(2400/x + 10 + 20) = (x + 20)(2400/x + 30)` m2.
Met behulp van GeoGebra, Desmos, of een grafische rekenmachine zoek je het minimum
van:
`A(x) = (x + 20)(2400/x + 30)`
.
Je vindt een minimum van
`5400`
m2 bij
`x = 60`
m.
Dan is de voorkant van de fabriekshal
`x - 20`
en de breedte ervan dus:
`2400/(x - 20)`
.
De oppervlakte van het terrein is dan:
`A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)`
.
Met de GR zoek je het minimum van:
`A(x) = x(2400/(x - 20) + 30)`
.
Je vindt een minimum van
`5400`
m2 bij
`x = 60`
m.
Het blik is zuiver cilindervormig, het materiaal is overal even dik en eventuele opstaande randjes worden verwaarloosd. De hoeveelheid materiaal wordt dus alleen bepaald door de oppervlakte ervan.
De onder- en de bovenkant van het blik zijn cirkels met straal `r` en de mantel is een rechthoek met een hoogte van `h` cm en een breedte die gelijk is aan de omtrek van de grondcirkel.
Met
`I = 1000`
vind je
`1000 = πr^2 h`
en dus:
`h = 1000/ (πr^2)`
.
Als je nu in de formule voor
`A`
deze uitdrukking invult voor
`h`
, dan vind je:
`A(r) = 2000/r+2 πr^2`
.
De gevonden vergelijking `A(r) = 2000/r+2pir^2` beschrijft een kromme met een minimum op `r ~~ 5,4` . Daarna gebruik je `h = 1000/(pir^2)` om `h ~~ 10,8` te vinden.
Het pakje met de kleinste oppervlakte heeft `x ~~ 5,8` cm en `h ~~ 5,9` cm.
Bijvoorbeeld `W(x) = (90 - 4x)(1000 + 100x) - 60(1000 + 100x) = text(-)400x^2 - 1000x + 30000` , met `W` in eurocent.
De winst is maximaal als `x = text(-)1,25` . En dat betekent dat hij de prijs eigenlijk met `5` eurocent zou moeten verhogen om maximale winst te krijgen. Dus nee, beter niet.
Stel dat `x` het aantal pakken yoghurt is dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule:
`(90-0,04(x-1000))x-60x`
Je vindt nu dat er een maximum is bij `x = 875` . Dus een afname van `125` pakken. Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met `5` eurocent moet verhogen voor maximale winst.
Stel `x` is het aantal extra pakken yoghurt dat hij zal verkopen, dan krijg je de formule:
`W = (90-0,04x)(1000+x) - 60(1000+x)`
Je vindt nu dat er een maximum is bij `x = text(-)125` . Dit komt op hetzelfde neer, want dit betekent dat de bedrijfsleider de prijs met `5` eurocent moet verhogen voor maximale winst.
€ 6412,50
`TO(p) = (600 - 6p)(10 + 0,25p) = 6000 + 90p - 1,5p^2`
`TO` is maximaal als `p = 30` .
De lengte en breedte zijn dan `20 - 2x` en de hoogte `x` .
Dus: `I = x(20 - 2x)^2` .
Bepaal het maximum met GeoGebra, Desmos, of de GR.
Je vindt dat het maximum
`593`
cm3 is bij
`x ~~ 3,45`
.
Sportveld: Noem de lengte
`l`
en breedte
`2r`
(in
`l`
en
`r`
in meters) waarin
`r`
de straal van de twee halve cirkels is.
Nu geldt:
`2l + 2πr = 400`
, dus
`l = 200 -πr`
.
De oppervlakte van het sportveld is:
`A = l*2r = (200 - πr)*2r = 400r - 2πr^2`
.
Maximum zit bij
`r = 100/π ~~ 31,8`
. Dit kun je berekenen met behulp van de symmetrie eigenschappen van de bergparabool
die de grafiek van
`A`
is (snijpunten met de horizontale as uitrekenen; de top zit in het midden van die
snijpunten).
Het sportveld is ongeveer
`100`
bij
`64`
m.
`q = 12 - 0,1p`
`0,1p = 12 - q`
`p = 120 - 10q`
Uit deze formule kun je afleiden dat de prijs
`0`
is wanneer er
`12000`
autopeds worden verkocht. Dit betekent dat:
`0 le q le 12`
.
`p = 120-10q`
Invullen geeft:
`TO = pq = 120 q-10 q^2`
.
`TW = TO-TK`
`TW = text(-)1,5q^3 + 12,5q^2`
Maximum bepalen (Geogebra, Desmos, of GR) geeft `q = 5,5555...` . Er is maximale winst als `q = 5556` . De prijs van een autoped is dan € 64,44.
`GTK = 1,5q^2 - 22,5q + 120` met een minimum bij een afzet van `7500` stuks.
De lengte van het linker voetpad is `sqrt(x^2 + 40^2) = sqrt(x^2 + 1600)` en de lengte van het rechter voetpad is `sqrt((80-x)^2 + 60^2) = sqrt(x^2 - 160x + 10000)` .
Los op: `sqrt(x^2 + 1600) = sqrt(x^2 - 160x + 10000)` . Dit geeft `x = 52,5` .
Nu moet `L(x) = sqrt(x^2 + 1600) + sqrt(x^2 - 160x + 10000)` minimaal zijn. Dit levert op: `x = 32` m en `L ~~ 128` .
Dus de totale lengte is dan ongeveer `128` m.
Neem voor het grondvlak van de rechthoekige ruimte een vierkant met zijde
`x`
. Met behulp van gelijkvormigheid kun je dan afleiden dat de hoogte ervan gelijk is
aan
`h = 6 - 1/2 x`
. De inhoud ervan is dan
`I = x^2(6 - 1/2 x) = 6x^2 - 1/2 x^3`
.
Met behulp van GeoGebra, Desmos, of een GR vind je een maximale inhoud als
`x = 8`
en dus
`h = 2`
. De afmetingen zijn dus
`8 xx 8 xx 2`
m.
Noem een kampeerplaats
`x`
bij
`x`
meter. Voor elke plaats is dan
`x^2 + 20`
m2 nodig. Omdat je over
`1`
ha beschikt, kun je
`10000/(x^2 + 20)`
plaatsen aanleggen. De prijs per overnachting wordt:
`2,50x + 4,50`
.
De totale opbrengst per nacht wordt:
`TO(x) = 10000/(x^2 + 20)*(2,50x + 4,50 ) = (25000x + 45000)/(x^2+20)`
.
Maximum (GeoGebra, Desmos, of GR) bepalen geeft
`x ≈ 3,02`
.
Een kampeerplaats wordt ongeveer
`3`
m breed.
Eigen antwoord.
Het blauwe streepjeslijntje is
`A`
. Ga na dat de rechthoekige driehoek met rechthoekszijden
`x - 1`
en
`A`
gelijkvormig is met de grotere rechthoekige driehoek met zijden
`x`
en
`sqrt(2,5^2 - x^2)`
.
Daaruit volgt:
`(x - 1)/x = (A)/(sqrt(2,5^2 - x^2))`
en hieruit kun je de gegeven formule afleiden.
Maak de grafiek van
`A`
.
Je vindt een maximum bij
`x ≈ 1,84`
.
ongeveer 0,85 m
Doen.
De poster moet ongeveer `8,2` bij `12,2` dm worden.
De diepte is dan ongeveer `18,3` dm en de hoogte ongeveer `9,1` dm.