Vlakke figuren > Driehoeken en vierhoekenAntwoorden van de opgaven
Hij lijkt prima in orde, maar in dit geval hoort het binnengebied er niet bij en kun je dus niet goed naar bijvoorbeeld de oppervlakte van een driehoek vragen.
Bijvoorbeeld zo:
Een driehoek is een vlakdeel ingesloten door een figuur die bestaat uit drie punten
die niet op één lijn liggen en hun verbindingslijnstukken.
Gelijkbenige driehoek (twee gelijke zijden), gelijkzijdige driehoek (drie gelijke zijden), rechthoekige driehoek (één rechte hoek).
`180^@`
Als de drie lengtes van de zijden vast liggen, is de driehoek niet meer te vervormen.
Een vierhoek is een vlakdeel ingesloten door een figuur die bestaat uit vier punten waarvan er geen drie op één lijn liggen en hun verbindingslijnstukken.
Rechthoek (vier rechte hoeken), vierkant (vier gelijke zijden én vier rechte hoeken), parallellogram (twee paar evenwijdige zijden), ruit (vier gelijke zijden), trapezium (één paar evenwijdige zijden), vlieger (twee paar gelijke zijden).
`360^@` , het zijn altijd twee driehoeken tegen elkaar.
Vierhoeken kun je nog vervormen ook als de lengtes van alle zijden vastliggen.
`Delta ABC`
is gelijkbenig met benen
`AC`
en
`BC`
. Symmetrieas is de lijn door
`C`
en loodrecht op
`AB`
.
`Delta KLM`
is ook gelijkbenig. Welke zijden de gelijke benen zijn, hangt af van hoe je er naar
kijkt. Bijvoorbeeld zijn
`KM`
en
`LM`
gelijke benen. Maar je kunt ook
`KL`
en
`KM`
nemen. En er is nog een mogelijkheid. Er zijn ook drie symmetrieassen. Elke symmetrieas
gaat door een hoekpunt en staat loodrecht op de tegenover liggende zijde.
Altijd `2` ; als hij gelijkzijdig is zelfs `3` .
`60^@`
`180^@ - 40^@ = 140^@` , dus de andere hoeken zijn elk `70^@` .
Je geodriehoek is er een mooi voorbeeld van.
De hoeken zijn
`90^@`
,
`45^@`
en nog eens
`45^@`
.
Teken eerst een lijnstuk `AB` van `4` cm. Teken vervolgens twee cirkels met lijnstuk `AB` als straal. Bij de linker cirkel heeft de cirkel een afstand van `4` cm tot punt `A` . Bij de rechter cirkel heeft de cirkel een afstand van `4` tot punt `B` . Het snijpunt van deze cirkels ligt zowel op een afstand van `4` ten opzichte van punt `A` , als op een afstand van `4` tot aan punt `B` . Als je hier je punt `C` legt, krijg je een driehoek met alleen maar zijden van `4` cm.
Het vierkant, namelijk `4` .
Het omgekeerde klopt niet: een trapezium hoeft geen parallellogram te zijn.
Deze uitspraak klopt. Het omgekeerde niet: een parallellogram hoeft geen ruit te zijn want de zijden hoeven niet alle vier even lang te zijn.
Ja, dat is een vierkant.
`2`
Geen symmetrieassen. Het centrum van symmetrie is het snijpunt van de diagonalen.
Met behulp van F-hoeken bij evenwijdige lijnen zie je dat de overige drie hoeken `30^@` , `150^@` en `150^@` zijn.
`30^@` , `150^@` en `150^@` , gebruik weer F-hoeken.
Alleen de hoek waarvan het éne been de andere evenwijdige zijde en het andere been
gemeenschappelijk is.
Die hoek is
`150^@`
.
De diagonalen van een ruit staan loodrecht op elkaar en delen elkaar doormidden.
De diagonalen van een vlieger staan loodrecht op elkaar en één ervan deelt de andere doormidden.
Een rechthoek is lijnsymmetrisch met twee symmetrie-assen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `180^@` .
Een vierkant is lijnsymmetrisch met vier symmetrie-assen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `90^@` .
Een vlieger is lijnsymmetrisch met een symmetrie-as.
Een ruit is lijnsymmetrisch met twee symmetrie-assen, puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `180^@` .
Een trapezium is niet altijd symmetrisch.
Een parallellogram is puntsymmetrisch en draaisymmetrisch met een kleinste draaihoek van `180^@` .
`Delta ABC` is een gelijkzijdige driehoek. Meet de zijden in de figuur na.
`AB = 5` cm, `angle B = angle A = 30^@` en `/_ C = 120^@` of `AB = 5` cm, `AC = 5` cm, `/_ B = angle C = 75^@` .
`Delta GHI` is een gelijkzijdige driehoek. `angle H` en `angle I` zijn ook `60^@` .
Zie voor een voorbeeld de figuur.
Controleer of `AB = CD = 3` cm en `BC = AD = 4` cm. En of `/_A = 30^@` .
Zie voor een voorbeeld de figuur.
Controleer of `KL = NK = 5` cm en `LM = MN = 3` cm en of `/_ NKL = 60^@` .
Je krijgt een vlieger `ABA'C` met `angle A = 71^@` , `angle B = 142^@` , `angle C = 76^@` en `angle A' = 71^@` .
Er ontstaat een vlieger `PR'QR` met een hoek van `40^@` , een hoek van `100^@` en twee hoeken van `110^@` .
Zijden `AB` en `AC` zijn even lang. `Δ ABC` is dus een gelijkbenige driehoek. Tophoek `A` is `90^@` . Dan blijft voor `/_ B + /_ C` ook nog `90^@` over. `/_ B + /_ C` zijn even groot dus allebei `1/2 · 90 = 45^@` .
Zijden `DE` , `DF` en `EF` zijn even lang. `Delta DEF` is dus een gelijkzijdige driehoek. Dan zijn alle hoeken ook even groot: `180 / 3 = 60^@`
Zijden `GI` en `HI` zijn even groot. `Delta GHI` is dus een gelijkbenige driehoek. `/_ G` en `/_ H` zijn basishoeken en dus gelijk. `/_ H` is dus ook `70^@` . Dan blijft voor tophoek `/_ I` nog `180 - (2 * 70) = 40^@` over.
Zijden `KL` en `LM` zijn gelijk. `Delta KLM` is dus een gelijkbenige driehoek. `/_ K` en `/_ M` zijn basishoeken en dus gelijk. `/_ K` is dus ook `78^@` . Dan blijft voor tophoek `/_ L` nog `180 - (2 * 78) = 24^@` over.
`Delta ABD` is een gelijkbenige driehoek. `angle B_3` is dus even groot als `angle A` : `15^@` . `angle D_1` is dan `180 - 2*15 = 150^@` .
`Delta BDE` is een gelijkbenige driehoek. `angle E_1` is dus even groot als `angle D_2` . Die is `180 - 150 = 30^@` . Dus `angle E_1 = 30^@` .
`Delta BCE`
is een gelijkbenige driehoek.
`angle B_1 = 180 - angle B_3 - angle B_2`
.
`angle B_2 = 180 - 2*30 = 120^@`
. Dus
`angle B_1 = 180 - 15 - 120 = 45^@`
.
`angle E_2 = 180 - 2*45 = 90^@`
Mogelijkheid 1: `AB = 5` cm, `angle B = angle A = 30^@` en `/_ C = 120^@` .
Mogelijkheid 2: `AB = 5` cm, `AC = 5` cm, `/_ B = angle C = 75^@` .
Mogelijkheid 1: `angle E' = 90^@` dus `angle F' = 60^@` . Zijden `DE` en `EF` zijn de rechthoekszijden.
Mogelijkheid 2: `angle F = 90^@` dus `angle E = 60^@` . Zijden `EF` en `DF` zijn de rechthoekszijden.
`Delta GHI` is een gelijkzijdige driehoek. `angle H` en `angle I` zijn ook `60^@` .
`/_ E = /_ A = 35^@`
Kijk voor
`/_ F`
naar
`Delta AEF`
:
`/_ F = 180 - 2 * 35 = 110^@`
.
Voor `/_ B` zie je de rechte lijn in `Delta AEF` en de hoek in `Delta BCD` : `/_ B = 180 + (180 - 40 ) / 2 = 250^@` .
Een parallellogram.
Een strip die diagonaal wordt geplaatst. Je krijgt dan een driehoek met drie gegeven lengtes en die kan niet worden vervormd. Een driehoek is een starre figuur.
Twee hoeken van `122^@` en nog een hoek van `58^@` .
`D(0, 3)`
`E(text(-)1, 2)`
Je kunt op verschillende manieren een trapezium maken, bijvoorbeeld door `P(text(-)2, 3)` te kiezen. En er zijn nog wel meer punten `P` mogelijk. Andere soorten bijzondere vierhoeken zijn echter niet mogelijk.
Begin met `Delta ABC` en spiegel dan punt `B` in lijn `AC` om punt `D` te krijgen.
Bereken eerst `/_E = 140^@` . Nu kun je de figuur gemakkelijk afmaken.
Bedenk dat ook `/_K = 40^@` en dat alle zijden `3` cm zijn. Nu kun je de figuur gemakkelijk afmaken.
`72^@` en `216^@` .
`45^@` en `270^@` .
`3,6^@` en `352,8^@` .
`(360/n)^@` en `(180 - 360/n)^@` .
Bekijk in de
Ja, ook die kun je in vijf driehoeken verdelen.
Nee, dat hoeft niet. Je kunt heel goed een zevenhoek met alle zijden gelijk aan `2` cm tekenen, zonder dat alle hoeken gelijk zijn.
Je kunt hem in vier driehoeken verdelen, dus de hoekensom is `4*180^@ = 720^@` , zodat elke hoek `120^@` is. Nu kun je hem tekenen.
Als je de lengtes van alle zijden en vier van de hoeken weet, zit je altijd goed.
Dit lukt niet omdat `1 + 3 lt 5` .
Er zijn twee driehoeken mogelijk.
Vierhoek 1: ruit, de andere hoeken zijn `110^@` , `70^@` en `70^@` .
Vierhoek 2: parallellogram, de andere hoeken zijn `95^@` , `85^@` en `85^@` .
Vierhoek 3: vlieger (pijlpuntvlieger), de andere hoeken zijn `230^@` , `45^@` en `45^@` .