`6^2+4^2 = AB^2` geeft `AB = sqrt(52)` .

Geef elkaar een opgave op (bijvoorbeeld op papier) en laat de ander het antwoord berekenen. Controleer je antwoord met de applet in Uitleg 1.

Schets de driehoek.

De lengte van `PR` is dan ongeveer `35` mm.

`PR = sqrt(1224) ≈ 34,99` mm.

De lengte van `QR` is ongeveer `24` mm.

`16^2 + (QR)^2 = 30^2` . Dit geeft `QR = sqrt(644) ≈ 23,38` mm.

In zijden die gelijk zijn staat hetzelfde tekentje.

Omdat dit driehoeken zijn. Daarin zijn de drie hoeken samen altijd `180^@` .

De overeenkomstige hoeken staan dan op dezelfde plaats.

Het zijn F-hoeken bij evenwijdige lijnen.

Ja, ook nu worden de overeenkomstige hoeken op dezelfde plek gezet.

$\mathrm{0,5}$

Ja.

Omdat ze allemaal gelijke hoeken hebben en omdat alle zijden gelijk zijn. Vergelijk je dan twee willekeurige vierkanten met elkaar dan zijn de overeenkomstige hoeken altijd hetzelfde. En verder als een zijde van het éne vierkant `k` keer zo groot is dan de overeenkomstige zijde van het andere vierkant, dan geldt dit voor alle andere zijden ook.

Ze hebben wel allemaal gelijke hoeken, maar niet alle zijden zijn gelijk. Vergelijk je dan twee willekeurige rechthoeken met elkaar dan zijn de overeenkomstige hoeken altijd hetzelfde. Maar als een zijde van de éne rechthoek `k` keer zo groot is dan de overeenkomstige zijde van de andere rechthoek, dan hoeft dit voor alle andere zijden niet automatisch ook te gelden.

Ja, ze hebben allemaal gelijke hoeken hebben en alle zijden zijn gelijk.

Nee, de hoeken en de zijden kunnen verschillen.

Van congruente figuren zijn overeenkomstige hoeken gelijk en overeenkomstige zijden gelijk. Dus zijn ze gelijkvormig met vergrotingsfactor `1` .

Begin met $KL=8$ cm en cirkel dan de andere twee lengtes met de passer om. De driehoek ligt vast als je alleen de zijden weet.

Dit kan op verschillende manieren, maar altijd moet je of een diagonaal opmeten of een hoek opmeten.

Bijvoorbeeld zo: Teken eerst $\text{Δ}ABD$ door de hoek bij $A$ op te meten en de twee zijden $AB$ en $AD$ op de benen van die hoek af te passen. Dan kun je vervolgens met de passer $\text{Δ}BCD$ er op zetten.

Je werkt op dezelfde manier, maar alle zijden worden $\mathrm{1,5}$ keer zo lang, terwijl de hoeken even groot blijven.

De ladder bereikt nu een hoogte van `QR = sqrt(10) ≈ 3,16` m.

De voet van de ladder moet op `180` cm van de muur staan.

In de tabel hieronder zie je dat elke zijde van $NKLM$ een lengte heeft die $\mathrm{1,5}$ keer zo groot is als die van de overeenkomstige zijde van vierhoek $ABCD$.

$AB$ $4$ cm	$BC$ $3$ cm	$CD$ $2$ cm	$DA$ $2$ cm
$NK$ $6$ cm	$KL$ $\mathrm{4,5}$ cm	$LM$ $3$ cm	$MN$ $3$ cm

Nee, dat hoeft niet. De overeenkomstige hoeken moeten ook gelijk zijn.

$9$

De hoeken bij $A$ en $D$ hebben ze gemeenschappelijk. De hoeken bij $B$ en $E$ zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. Omdat de hoeken van een vierhoek samen `360^@` zijn, moeten de hoeken $BCD$ en $BFD$ ook wel gelijk zijn. Alle hoeken zijn dus gelijk.

Maar nu de zijden. Zijde $AB$ wordt vergroot tot zijde $AE$ met factor $9/5=\mathrm{1,8}$. Maar zijde $AD$ wordt zijde $AD$ en dus helemaal niet vergroot. De overeenkomstige zijden worden niet allemaal met dezelfde factor vergroot en dus zijn de twee vierhoeken niet gelijkvormig.

De hoek bij $A$ hebben ze gemeenschappelijk. De hoeken bij $B$ en $E$ zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. De hoeken bij $D$ en $I$ zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. Omdat de hoeken van een vierhoek samen `360^@` zijn, moeten de hoeken $BCD$ en $EGI$ ook wel gelijk zijn. Alle hoeken zijn dus gelijk.

Maar nu de zijden. Maak een tabel met de overeenkomstige zijden boven elkaar.

$AB$ $5$	$BC$ $4$	$CD$ $2$	$DA$ $3$
$AE$ $9$	$EG$ $\mathrm{5,4}$	$GI$ $\mathrm{3,6}$	$IA$ $\mathrm{7,2}$

Ga na dat voor alle paren overeenkomstige zijden met dezelfde factor $\mathrm{1,8}$ worden vergroot.

Omdat ze twee paar gelijke hoeken hebben, is ook het derde paar overeenkomstige hoeken gelijk.
Bij driehoeken is het genoeg als alle overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

$DE=AE-AD=12-4=8$.

Uit de tabel en de vergrotingsfactor volgt $x=\frac{2}{3}\cdot (x+3)$ en dus $3x=2(x+3)=2x+6$ en daaruit volgt $x=CE=6$.

Omdat `/_A = /_A` en `/_ABC = /_ADE` (F-hoeken).

Maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.

$AB$ $12$ cm	$BC$ $10$ cm	$AC$ $x+5$ cm
$AD$ $5$ cm	$DE$ $y$ cm	$AE$ $x$ cm

De vergrotingsfactor van $\text{Δ}ABC$ naar $\text{Δ}ADE$ is $5/12=\frac{5}{12}$.
$DE=\frac{5}{12}\cdot 10=\frac{25}{6}$ cm.
$x=\frac{5}{12}\cdot (x+5)$ geeft $12x=5x+25$ en dus $AE=x=\frac{25}{7}$ cm.

`ΔABC ∼ ΔAED` omdat `/_BAC = /_EAD` (X-hoeken) en `/_ABC = /_DEA` (Z-hoeken).

Maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.

$AB$ $10$ cm	$BC$ $9$ cm	$AC$ $x$ cm
$AE$ $4$ cm	$ED$ $y$ cm	$DA$ $\mathrm{2,5}$ cm

De vergrotingsfactor van $\text{Δ}ABC$ naar $\text{Δ}ADE$ is $4/10=\mathrm{0,4}$.
$DE=\mathrm{0,4}\cdot 9=\mathrm{3,6}$ cm.
$AC=\mathrm{2,5}/\mathrm{0,4}=\mathrm{6,25}$ cm.

In rechthoekige driehoeken geldt ook de stelling van Pythagoras. Je kunt dus ook de lengte van $BC$ berekenen met $B{C}^2={12}^2+8^2$, dus $BC=\sqrt{{12}^2+8^2}=\sqrt{208}$.

In deze figuur zijn drie gelijkvormige driehoeken te vinden, namelijk $\Delta ABC$, $\Delta DAC$ en $\Delta DBA$. Ga na dat van die driehoeken alle drie de paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn.

Neem nu bijvoorbeeld de driehoeken $\Delta ABC$ en $\Delta DAC$ en maak een verhoudingstabel voor de zijden.

$AB$ $12$ cm	$BC$ $\sqrt{208}$ cm	$AC$ $8$ cm
$DA$ $x$ cm	$AC$ $8$ cm	$DC$ $y$ cm

De vergrotingsfactor van $\text{Δ}ABE$ naar $\text{Δ}DAC$ is $8/\sqrt{208}$.
$AD=8/\sqrt{208}\cdot 12\approx \mathrm{6,7}$ cm.

Omdat $AD=\frac{96}{\sqrt{208}}$ krijg je met de stelling van Pythagoras: ${\left(\frac{96}{\sqrt{208}}\right)}^2+B{D}^2={12}^2$ en dus $BD=\sqrt{{12}^2-{\left(\frac{96}{\sqrt{208}}\right)}^2}\approx \mathrm{9,9}$.

Je kunt ook met behulp van de tabel uit a eerst de lengte van $DC$ berekenen en dan deze lengte aftrekken van de lengte van $BC$. Ga na, dat je hetzelfde vindt.

`10^2 + 7,5^2 = 12,5^2` , dus deze driehoek is rechthoekig met `∠ B` als rechte hoek.

`2^2 + 2^2 ≠ 3^2` , dus deze driehoek is niet rechthoekig.

`10^2 + 24^2 = 26^2` , dus deze driehoek is rechthoekig met `∠ H` als rechte hoek.

`5^2 + 5^2 = 50` , dus deze driehoek is rechthoekig met `∠ K` als rechte hoek.

Het beeldscherm heeft een lengte van `34,9` en een hoogte van `25,4` cm.

`/_EDC = /_EFB` (gegeven) en `/_DEC = /_FEB` (X-hoeken).

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van $\text{Δ}DEC$ naar $\text{Δ}FEB$ is $3/10=\mathrm{0,3}$. Dus $EB=\mathrm{0,3}\cdot 12=\mathrm{3,6}$ cm.

Bijvoorbeeld `ΔABC ∼ ΔDEC` . (Je kunt ook gebruik maken van `ΔABC ∼ ΔFEB` .)

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van $\text{Δ}DEC$ naar $\text{Δ}ABC$ is $\mathrm{15,6}/12=\mathrm{1,3}$. Dus $AB=\mathrm{1,3}\cdot 10=13$ cm.

`ΔABC ∼ ΔBDC` , want `/_C = /_C` en `/_DBC = /_A` (gegeven).

Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van $\text{Δ}ABC$ naar $\text{Δ}BDC$ is $6/7=\frac{6}{7}$. Dus $DC=\frac{6}{7}\cdot 6=\frac{36}{7}$ en $AD=7-\frac{36}{7}=\frac{13}{7}$ cm.