Nog niet, want je weet niet welke hoek recht is.
Je kunt de driehoek nu construeren en de lengte van
`AC`
opmeten (of berekenen met de stelling van Pythagoras).
Je vindt:
`AC ~~ 5,8`
cm en dus
`~~58`
mm.
Korter, nu is `AC = 4` cm.
`58` m. Alle zijden worden `1000` keer zo groot.
De rechthoeken I en V zijn gelijk.
De rechthoeken I en III zijn niet gelijk maar hebben gelijke verhoudingen, evenals de rechthoeken II en IV.
`6^2+4^2 = AB^2` geeft `AB = sqrt(52)` .
Geef elkaar een opgave op (bijvoorbeeld op papier) en laat de ander het antwoord berekenen.
Controleer je antwoord met de applet in
Schets de driehoek.
De lengte van `PR` is dan ongeveer `35` mm.
`PR = sqrt(1224) ≈ 34,99` mm.
De lengte van `QR` is ongeveer `24` mm.
`16^2 + (QR)^2 = 30^2` . Dit geeft `QR = sqrt(644) ≈ 23,38` mm.
Controleer de stelling van Pythagoras, de langste zijde `BC` zou dan de hypotenusa moeten zijn.
`AB^2 + AC^2 = BC^2` geeft `6^2 + 5^2 = 8^2` en `36 + 25 = 64` en dat klopt niet. De driehoek is dus niet rechthoekig.
In zijden die gelijk zijn staat hetzelfde tekentje.
Omdat dit driehoeken zijn. Daarin zijn de drie hoeken samen altijd `180^@` .
De overeenkomstige hoeken staan dan op dezelfde plaats.
Het zijn F-hoeken bij evenwijdige lijnen.
Ja, ook nu worden de overeenkomstige hoeken op dezelfde plek gezet.
Ja.
Omdat ze allemaal gelijke hoeken hebben en omdat alle zijden gelijk zijn. Vergelijk je dan twee willekeurige vierkanten met elkaar dan zijn de overeenkomstige hoeken altijd hetzelfde. En verder als een zijde van het éne vierkant `k` keer zo groot is dan de overeenkomstige zijde van het andere vierkant, dan geldt dit voor alle andere zijden ook.
Ze hebben wel allemaal gelijke hoeken, maar niet alle zijden zijn gelijk. Vergelijk je dan twee willekeurige rechthoeken met elkaar dan zijn de overeenkomstige hoeken altijd hetzelfde. Maar als een zijde van de éne rechthoek `k` keer zo groot is dan de overeenkomstige zijde van de andere rechthoek, dan hoeft dit voor alle andere zijden niet automatisch ook te gelden.
Ja, ze hebben allemaal gelijke hoeken hebben en alle zijden zijn gelijk.
Nee, de hoeken en de zijden kunnen verschillen.
Van congruente figuren zijn overeenkomstige hoeken gelijk en overeenkomstige zijden gelijk. Dus zijn ze gelijkvormig met vergrotingsfactor `1` .
Begin met cm en cirkel dan de andere twee lengtes met de passer om. De driehoek ligt vast als je alleen de zijden weet.
Dit kan op verschillende manieren, maar altijd moet je of een diagonaal opmeten of een hoek opmeten.
Bijvoorbeeld zo: Teken eerst door de hoek bij op te meten en de twee zijden en op de benen van die hoek af te passen. Dan kun je vervolgens met de passer er op zetten.
Je werkt op dezelfde manier, maar alle zijden worden keer zo lang, terwijl de hoeken even groot blijven.
De ladder bereikt nu een hoogte van `QR = sqrt(10) ≈ 3,16` m.
De voet van de ladder moet op `180` cm van de muur staan.
Oefen dit goed!
In de tabel hieronder zie je dat elke zijde van een lengte heeft die keer zo groot is als die van de overeenkomstige zijde van vierhoek .
|
|
|
|
|
|
|
|
Nee, dat hoeft niet. De overeenkomstige hoeken moeten ook gelijk zijn.
De hoeken bij en hebben ze gemeenschappelijk. De hoeken bij en zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. Omdat de hoeken van een vierhoek samen `360^@` zijn, moeten de hoeken en ook wel gelijk zijn. Alle hoeken zijn dus gelijk.
Maar nu de zijden. Zijde wordt vergroot tot zijde met factor . Maar zijde wordt zijde en dus helemaal niet vergroot. De overeenkomstige zijden worden niet allemaal met dezelfde factor vergroot en dus zijn de twee vierhoeken niet gelijkvormig.
De hoek bij hebben ze gemeenschappelijk. De hoeken bij en zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. De hoeken bij en zijn gelijk, dat is in de figuur aangegeven. Omdat de hoeken van een vierhoek samen `360^@` zijn, moeten de hoeken en ook wel gelijk zijn. Alle hoeken zijn dus gelijk.
Maar nu de zijden. Maak een tabel met de overeenkomstige zijden boven elkaar.
|
|
|
|
|
|
|
|
Ga na dat voor alle paren overeenkomstige zijden met dezelfde factor worden vergroot.
Overeenkomstige zijden waarvan de lengtes bekend zijn, zijn en . Dus de vergrotingsfactor van vierhoek naar vierhoek is .
Dus is cm.
Omdat ze twee paar gelijke hoeken hebben, is ook het derde paar overeenkomstige hoeken
gelijk.
Bij driehoeken is het genoeg als alle overeenkomstige hoeken gelijk zijn.
.
Uit de tabel en de vergrotingsfactor volgt en dus en daaruit volgt .
Omdat `/_A = /_A` en `/_ABC = /_ADE` (F-hoeken).
Maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.
|
|
|
|
|
|
De vergrotingsfactor van naar is .
cm.
geeft en dus cm.
`ΔABC ∼ ΔAED` omdat `/_BAC = /_EAD` (X-hoeken) en `/_ABC = /_DEA` (Z-hoeken).
Maak een verhoudingstabel van overeenkomstige zijden.
|
|
|
|
|
|
De vergrotingsfactor van naar is .
cm.
cm.
In rechthoekige driehoeken geldt ook de stelling van Pythagoras. Je kunt dus ook de lengte van berekenen met , dus .
In deze figuur zijn drie gelijkvormige driehoeken te vinden, namelijk , en . Ga na dat van die driehoeken alle drie de paren overeenkomstige hoeken gelijk zijn.
Neem nu bijvoorbeeld de driehoeken en en maak een verhoudingstabel voor de zijden.
|
|
|
|
|
|
De vergrotingsfactor van naar is .
cm.
Omdat krijg je met de stelling van Pythagoras: en dus .
Je kunt ook met behulp van de tabel uit a eerst de lengte van berekenen en dan deze lengte aftrekken van de lengte van . Ga na, dat je hetzelfde vindt.
`B C = sqrt(11) ~~ 3,32` .
`K L = sqrt(36) = 6` .
`D F = sqrt(48,5) ~~ 6,96` .
`TR = sqrt(16,96) ~~ 4,12`
`10^2 + 7,5^2 = 12,5^2` , dus deze driehoek is rechthoekig met `∠ B` als rechte hoek.
`2^2 + 2^2 ≠ 3^2` , dus deze driehoek is niet rechthoekig.
`10^2 + 24^2 = 26^2` , dus deze driehoek is rechthoekig met `∠ H` als rechte hoek.
`5^2 + 5^2 = 50` , dus deze driehoek is rechthoekig met `∠ K` als rechte hoek.
Het beeldscherm heeft een lengte van `34,9` en een hoogte van `25,4` cm.
De vergrotingsfactor kan zijn, de afmetingen van de verkleining zijn dan bij cm.
De vergrotingsfactor kan zijn, de afmetingen van de verkleining zijn dan bij cm.
Maak een verhoudingstabel van de overeenkomstige zijden van beide driehoeken.
|
|
|
|
|
|
De vergrotingsfactor is van naar is . En dus is en .
Er zijn twee mogelijkheden:
De lengte van de poster zo houden. De breedte moet dan cm worden. De oppervlakte van de poster wordt dan cm2.
De breedte van de poster zo houden. De lengte moet dan cm worden. Dat kan echter niet, want de lengte is maar cm.
En dus kies je voor de eerste mogelijkheid.
`/_EDC = /_EFB` (gegeven) en `/_DEC = /_FEB` (X-hoeken).
Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van naar is . Dus cm.
Bijvoorbeeld `ΔABC ∼ ΔDEC` . (Je kunt ook gebruik maken van `ΔABC ∼ ΔFEB` .)
Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van naar is . Dus cm.
Bereken eerst met behulp van de stelling van Pythagoras dat en .
Nu is `ΔAEC ∼ ΔDEB` , want `/_ACE = /_DBE` (Z-hoeken bij de evenwijdige lijnen en ) en `/_AEC = /_DEB` (overstaande hoeken).
Maak een verhoudingstabel van de zijden.
|
|
|
|
|
|
De vergrotingsfactor van naar is .
Uit volgt . En uit volgt .
Dus en .
Maak een schets, neem aan dat de boom een lijnstuk is dat verticaal op de grond staat en dat Boris dat ook is.
Bij Boris zit een rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van m en m. Bij de boom zit een daarmee gelijkvormige rechthoekige driehoek met rechthoekszijden van m en m. Hierin is de hoogte van de boom.
Hierbij hoort een verhoudingstabel:
De vergrotingsfactor van de driehoek bij Boris naar de driehoek bij de boom is .
Dus m.
Bereken bij verschillende waarden van de verhoudingen en en zoek de waarde van waarvoor deze verhoudingen gelijk zijn.
Dat lukt het beste als .
De afmetingen van rechthoek zijn dan ongeveer bij .
De Gulden Snede is ongeveer .
`B C = sqrt(20) ~~ 4,47` .
`K M = sqrt(29,75) ~~ 5,45` .
`D F = sqrt(42,25) = 6,5 ` .
De diameter van het tafelkleed moet minimaal `170` cm zijn.
`ΔABC ∼ ΔBDC` , want `/_C = /_C` en `/_DBC = /_A` (gegeven).
Maak een verhoudingstabel van de zijden. De vergrotingsfactor van naar is . Dus en cm.