Vlakke figuren > Omtrek en oppervlakte
123456Omtrek en oppervlakte

Antwoorden van de opgaven

Opgave V1
a

`36` cm2.

b

`18` cm2

c

Ze staan op een cm-rooster en de hoekpunten zijn roosterpunten. Bovendien zijn het rechthoeken (of handige delen ervan).

Opgave V2
a

Omdat je niet zeker weet of de hoek een rechte hoek is. Dat zie je alleen wanneer de driehoek in een rooster staat (waarvan je aanneemt dat de roosterlijnen loodrecht op elkaar staan).

b

`18,5505` cm2.

c

oppervlakte (rechthoekige driehoek) `=1/2 l b`

Opgave 1
a

Omdat je geen "hokjes" kunt tellen. Dat duurt vaak ook veel te lang.

b

Figuur a: `3,0 *5,1 =15,3` cm2
Figuur b: `2,3 *4,6 =10,58` cm2
Figuur c: `2,82^2=7,9524` cm2
Figuur d: `1/2*3,2 *6,4 =10,24` cm2

c

omtrek (rechthoek) `=2 l+2 b` ( `l` is lengte en `b` is breedte rechthoek).

Of: omtrek (rechthoek) `=2(l+b)` .

d

Figuur a: `2 *3,0 +2 *5,1 =16,2` cm
Figuur b: `2 *2,3 +2 *4,6 =13,8` cm
Figuur c: `2 *2,82 +2 *2,82 =11,28` cm

e

Door eerst met behulp van de stelling van Pythagoras de hypothenusa te berekenen: `sqrt(6,4^2 + 3,2^2) ~~ 7,16` . Vervolgens kun je de lengtes van de drie zijden optellen. De omtrek wordt `~~16,8` .

Opgave 2
a

`22,09` mm2

b

`3,9` mm

c

omtrek (vierkant) `=4 z`

Opgave 3
a

Deze figuur is te zien als een samenstelling van rechthoek I en de driehoeken II en III. Er geldt:
oppervlakte (figuur a) `=I+II+III=3*2 + 1/2 * 4 *2 + 1/2 * 1 * 3 = 11,5` cm2

b

Zet een rechthoek van `3` cm bij `5` cm om figuur b. De oppervlakte van de figuur is de oppervlakte van deze rechthoek min de oppervlakte van de drie halve rechthoeken `IV` , `V` en `VI` . Er geldt:
oppervlakte (figuur b) `=` oppervlakte (rechthoek)  `- (IV+V+VI) = 3*5 - (1/2 * 1 * 4 + 1/2 * 1 * 2 + 1/2 * 2 * 5)=7` cm2.

Opgave 4
a

oppervlakte ( `DeltaKLM` )  `=11,25`  

b

oppervlakte ( `DeltaABC` ) `=28`

Opgave 5
a

Als je de plaats van `A` en `B` hebt gekozen, is er dan nog maar één parallellogram mogelijk?

ja

nee

b

In `DeltaABD` en `DeltaBCD` .

c

Heeft elk parallellogram met een basis van `7` en een hoogte van `5` dezelfde oppervlakte?

ja

nee

d

oppervlakte ( `ABCD` ) `=` basis `*` hoogte `=7 *5 =35=2*` oppervlakte (driehoek) `=2*1/2*7*5`

Opgave 6
a

Omdat `CD^2 + 1,6^2 = 2,0^2` is `CD = sqrt(2,0^2 - 1,6^2) = 1,2` m.

b

Bereken eerst `AC = sqrt(0,5^2 + 1,2^2) = 1,3` m.
De omtrek van `Delta ABC` is dan `2,1 + 2,0 + 1,3 = 5,4` m.

c

`3 * 5,4 = 16,2` m.

d

`omt(Delta KLM) = 4 * 5,4 = 21,6` m.
`opp(Delta KLM) = 4^2 * 1,26 = 20,16` m2.

Opgave 7

`opp(DeltaABC) =1/2*15*8=60` en `omt(DeltaABC) = 15 + 11 + 10 = 36` .

Bij `Delta PQR` bereken je eerst de hoogte `QS = sqrt(6,5^2 - 2,5^2) = 6` en de zijde `QR = sqrt(8^2 + 6^2) = 10` .
`opp(DeltaPQR) =1/2*10,5*6=31,5` en `omt(DeltaPQR) = 6,5 + 10,5 + 10 = 27` .

Opgave 8
a

oppervlakte ( `DeltaABD` ) `=1/2*5 *6 = 15` cm2

b

Zie `DeltaACD` bij de uitwerking van c.
Je kunt de oppervlakte niet exact met behulp van de oppervlakteformule berekenen, omdat de basis en hoogte nu niet op roosterlijnen en tussen roosterpunten staan. Je kunt de afmetingen wel opmeten, maar dat is minder nauwkeurig.

c

Zet eerst een vierkant om `DeltaACD` .

oppervlakte ( `DeltaACD` ) `=` oppervlakte (vierkant) `-` oppervlakte (drie rechthoekige driehoeken) `=6 *6 -1/2*6 *3 -1/2*5 *3 -1/2*6 *1 =16,5` cm2

d

Neem als basis `AC≈6,1` cm. De bijbehorende hoogte `DE` , de afstand van `D` tot `AC` , is ongeveer `5,4` cm. De hoogte van een driehoek is altijd de afstand van het hoekpunt tegenover de basis (loodrecht) naar deze basis.
oppervlakte ( `DeltaACD` ) `≈1/2*6,1 *5,4 =16,47≈16,5` cm2

Opgave 9

oppervlakte (vlieger) `=2 *1/2*30 *30 +2 *1/2*100 *30 =3900`
oppervlakte (ruit) `=4 *1/2*50 *40 =4000`

Je kunt de figuren eventueel ook opdelen in twee niet-rechthoekige driehoeken.

Voor de omtrek bereken je eerst de zijden:
van de vlieger zijn de twee langste zijden `sqrt(100^2 + 30^2) = sqrt(10900)` en de twee kortste zijden `sqrt(30^2 + 30^2) = sqrt(1800)` ;
van de ruit zijn alle zijden `sqrt(50^2 + 40^2) = sqrt(4100)` .

omtrek (vlieger) `=2 *sqrt(10900) +2 *sqrt(1800) ~~ 294`
omtrek (ruit) `=4 *sqrt(4100) ~~ 256` .

Opgave 10
a

Je kunt dit bijvoorbeeld uitleggen door er een rechthoek omheen te tekenen (zie figuur) en dan uit te leggen waarom de vlieger precies de halve oppervlakte van die rechthoek heeft.

Een andere manier is, om de oppervlaktes van de twee afzonderlijke driehoeken in `p` en `q` uit te drukken, deze bij elkaar op te tellen en de formule te vereenvoudigen.

b

Je ziet dat je iedere vlieger kunt opdelen in twee identieke driehoeken aan weerszijden van symmetrieas `q` . In vlieger `EFGH` zijn dit `DeltaEGH` en `DeltaEFG` en in vlieger `ABCD` zijn dit `DeltaACD` en `DeltaABC` . Door het evenwijdig met de symmetrieas verschuiven van de toppen `H` en `F` in vlieger `EFGH` ontstaat vlieger `ABCD` met toppen `D` en `B` , met een stompe hoek op de symmetrieas. Aangezien de hoogte van de bijbehorende identieke driehoeken niet verandert, blijft de oppervlakte van de driehoeken gelijk. De formule voor de oppervlakte blijft dus ook gelijk. De formule geldt voor vlieger `EFGH` en voor pijlpuntvlieger `ABCD` .

c

Geldt deze formule voor de oppervlakte van een vlieger voor elke vlieger? Dus ook voor een ruit bijvoorbeeld?

ja

nee

Opgave 11

Nu krijg je `DeltaABC` met oppervlakte ( `DeltaABC` )  `=1/2*1,9 *1,3 =1,235` m2 en `DeltaACD` met 
oppervlakte ( `DeltaACD` )  `=1/2*1,1 *1,3 =0,715` m2.

oppervlakte (trapezium)  `= 1,235 + 0,715 = 1,95`  m2

De driehoeken houden dezelfde waarden voor de basis en hoogte, dus de afzonderlijke en de totale oppervlakte veranderen niet.

Opgave 12
a

Verdeel het trapezium in twee driehoeken door een diagonaal te trekken. Dan is
oppervlakte (onderste driehoek) `=1/2*a*h` en oppervlakte (bovenste driehoek) `=1/2*b*h` . Als je deze twee oppervlaktes optelt, krijg je `1/2*a*h+1/2*b*h=1/2*(a+b)*h` .

b

`1,95` m2

c

Ja, de oppervlakteformule van a is ook nu geldig.

d

Nee, je kunt de lengtes van `AD` en `BC` niet berekenen.
Er zijn ook andere trapezia te tekenen met dezelfde hoogte, en dezelfde lengtes van de twee evenwijdige zijden.

Opgave 13

Je moet oplossen: `1/2 * (5+b)*6 = 19,5` . Je vindt: `b=1,5` .

Opgave 14
a

letter A: `781,25` mm2
letter L: `750` mm2

b

De zijden van de L liggen op roosterlijnen en de hoekpunten zijn roosterpunten.

Bij de A is beide niet het geval.

c

`170` mm

Opgave 15

Figuur a: `250`
Figuur b: `75`
Figuur c: `143`
Figuur d: `60`
Figuur e: `104`
Figuur f: `25,5`

Opgave 16
a

oppervlakte ( `DeltaABC` ) `=6` roosterhokjes

b

oppervlakte ( `DeltaABD` ) `=9` roosterhokjes

c

oppervlakte ( `DeltaACD` ) `=10` roosterhokjes

Opgave 17

oppervlakte ( `DeltaABC` ) `=1/2*6,5 *4 =13`
oppervlakte ( `DeltaKLM` ) `=1/2*4,5 *7,2 =16,2` met hoogte `LN = sqrt(7,8^2 - 3^2) = 7,2`

omtrek ( `DeltaABC` ) `=6,5 + 5 + 5,3 = 16,8`
omtrek ( `DeltaKLM` ) `= 4,5 + 7,8 + sqrt(108,09) ~~ 22,7` met `KL = sqrt(7,5^2 + 7,2^2) = sqrt(108,09)` .

Opgave 18

oppervlakte ( `ABCD` ) `=` basis `*` hoogte `=13 *10 =130` (parallellogram)
oppervlakte ( `KLMN` ) `=1/2* p * q = 1/2*8*11 =44` (pijlpuntvlieger)
oppervlakte ( `PQRS` ) `= 1/2*(a+b)*h = 1/2*(11,5+3,5) *8=60` (trapezium)

Opgave 19

Je kunt de figuur verticaal verdelen in twee trapezia.
De oppervlakte is `1/2*(162 +36 )*88 +1/2*(36 +28 )*35 =9832` cm2.

Opgave 20

`AC = sqrt(12^2 + 5^2) = 13` .
`BD` is de hoogte op basis `AC` .
Omdat de oppervlakte van deze rechthoekige driehoek gelijk is aan `1/2*5 *12 =30` , geldt ook: `1/2*13 *BD=30` . Links en rechts eerst `xx2` en dan delen door `13` , dan is `BD=60/13=4 8/13` .

Opgave A1
a

`s` staat voor de halve omtrek. De omtrek bereken je door `a` , `b` en `c` bij elkaar op te tellen, ofwel: `a+b+c` . De helft daarvan is `(a+b+c)/2` . Dus `s=(a+b+c)/2`

b

De rechthoekszijden van deze driehoek zijn `3` cm en `4` cm lang. Die kun je meteen als basis en hoogte gebruiken. Er geldt dan: oppervlakte (driehoek) `= 1/2 *` basis `*` hoogte

Invullen geeft: oppervlakte (driehoek) `= 1/2 * 3 * 4=6` cm²

c

oppervlakte `=6` cm²
Dit klopt, want het is dezelfde uitkomst als bij b.

d

Bereken eerst `s` met de formules die je bij a hebt gevonden. Je vindt dan: `s=(a+b+c)/2=(12,9+9,3+11,8)/2=34/2=17` . Dus `s=17` .

oppervlakte `~~52,83` cm².

Opgave A2Vakantiehuisje
Vakantiehuisje
a

Zie de figuur:
`Opp=1/2xxABxxCD=1/2xx4xx4,8=9,6` m2

b

`41,6` m2

c

`5,57` m

Opgave T1

`opp(Delta ABC) = 20,16` en `omt(Delta ABC) = 21,6`

`opp(parm EFGH) = 24` en `omt(parm EFGH) = 23`

`opp(trap LMNP) = 22,5` en `omt(trap LMNP) ~~ 19,2`

Opgave T2

`QR=10` cm

Opgave T3

`9,66` dm2

verder | terug